Hesse’sche Normalform aus Koordinatenform ermitteln

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Hesse’sche Normalform aus Koordinatenform ermitteln

Die Hesse’sche Normalform ist die günstigste Form einer Ebenengleichung im Hinblick auf Abstandsbestimmungen. Wie man diese im einfachsten Fall bestimmt (wenn bereits eine Koordinatengleichung vorliegt), erfährst du hier anhand einer Beispiel-Aufgabe:

Gegeben sei eine Ebene $E\subset\mathbb{R}^3$ mit der Gleichung $2x+3y+4z-1=0$.
Bestimme die Hesse’sche Normalform von $E$.

Jede Ebene im Raum hat unendlich viele verschiedene Koordinatengleichungen. Wenn man die vorliegende Gleichung $2x + 3y + 4z = 1$ z. B. mit 2 multipliziert, erhält man eine neue
Gleichung für dieselbe Ebene, nämlich $4x + 6y + 8z = 2$. Die Hesse’sche Normalform einer Ebene ist eine besondere Koordinatengleichung, bei der die Koeffizienten der Variablen zusammen einen Vektor der Länge 1 bilden. Das hat den Vorteil, dass man sehr leicht den Abstand eines beliebigen Punktes von der Ebene berechnen kann, siehe dazu das Video Abstand zwischen Punkt und Ebene berechnen.

Die Strategie bei der Umwandlung einer Koordinatengleichung in die Hesse-Form ist es, die Gleichung durch Länge des Koeffzientenvektors teilen.
in der vorliegenden Koordinatengleichung $E:2x+3y+4z-1=0$ bilden die Koeffizienten der Variablen den Normalenvektor $\vec{n}=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\4\end{array}\right)$ der Ebene $E$. Der Betrag des Vektors (Länge des Vektors) ist
$\begin{align*}
\left|\vec{n}\right|&=\left|\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\4\end{array}\right)\right|\\
&=\sqrt{2^2+3^2+4^2}\\
&=\sqrt{29}.
\end{align*}$

Um aus $\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\4\end{array}\right)$ einen Normalenvektor der Länge 1 zu erhalten (ein solcher Vektor heißt Normaleneinheitsvektor), müssen wir also durch $\sqrt{29}$ teilen.

Somit bekommen wir die Hesse’sche Normalform von $E$, indem wir die vorgegebene Gleichung $E:2x+3y+4z-1=0$ durch $\sqrt{29}$ teilen. Die Hesse-Form lautet also
\[E:\frac{2x+3y+4z-1}{\sqrt{29}}=0.\]
Bemerkung: Den Bruch musst du nicht auflösen, denn für zukünftige Berechnungen ist die Form $E:\frac{2}{\sqrt{29}}x+\frac{3}{\sqrt{29}}y+\frac{4}{\sqrt{29}}z-\frac{1}{\sqrt{29}}=0$ kein bisschen günstiger. Wichtig ist aber, dass auf der rechten Seite der Gleichung 0 steht. Wenn statt $2x+3y+4z-1=0$ beispielsweise $2x+3y+4z=1$ als Gleichung vorgegeben ist, solltest du zuerst die 1 von beiden Seiten abziehen.

 

 
 
 
 

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