Integrale umformen
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Integrale umformen
Häufig musst du im Abitur Integrale umformen, um leichter mit ihnen rechnen zu können. Hier lernst du die drei wichtigsten Umformungsregeln für Integrale kennen: die Regel der Linearität von Integralen, die Additivitätsregel und die Regel zur Vorzeichenkonvention. Sie werden benutzt, um komplizierte Integrale zu vereinfachen und auch um Integralterme zu vergleichen.
| Regel | Formel |
|---|---|
| Linearität | $\displaystyle\int\left(\lambda\cdot f(x)+g(x)\right)\mathrm{d}x=\lambda\cdot\int f(x)\mathrm{d}x+\int g(x)\mathrm{d}x$ |
| Additivitätsregel | $\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\mathrm{d}x+\int\limits_b^c f(x)\mathrm{d}x=\int\limits_a^c f(x)\mathrm{d}x$ |
| Vorzeichenkonvention | $\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\mathrm{d}x=-\int\limits_b^a f(x)\mathrm{d}x$ |
Diese Regeln gelten für beliebige reelle Zahlen $a$, $b$, $c$ und $\lambda$ und beliebige integrierbare Funktionen $f$ und $g$.
Eine Beispielaufgabe zur Anwendung der Umformungsregel für Integrale kann in der folgenden Aufgabe angewendet werden:
Begründe ohne Berechnung der Integrale, dass die folgende Gleichung gilt:
$\int\limits_0^{1{,}5}\left(4x^2-3\sin(x)\right)\mathrm{d}x-\int\limits_1^{1{,}5}\sin(x)\mathrm{d}x=\int\limits_0^1\left(4x^2-3\sin(x)\right)\mathrm{d}x+4\int\limits_1^{1{,}5}\left(x^2-\sin(x)\right)\mathrm{d}x$
Deine Strategie zur Lösung: Beide Seiten vereinfachen und vergleichen
Über die Linearität kannst du die Integrale so aufteilen, dass in jedem Integral nur noch eine Standardfunktion vorkommt (also eine Potenz von $x$, eine trigonometrische Funktion, eine $e$-Funktion oder ein Logarithmus), deren Stammfunktion du einfach nachschlagen kannst. Eine Übersicht über die 5 wichtigsten Stammfunktion, die du auswendig wissen solltest, findest du im Lösungscoach zum Video Stammfunktion bilden. Auf die komplette Rechnung verzichten wir an dieser Stelle, weil sie recht lang ist; du kannst sie im Lösungscoach nachvollziehen.
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