Integration durch Substitution

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Integration durch Substitution

Bei der Integration durch Substitution führst du ein unbekanntes Integral auf bekannte Beispiele zurück und kannst somit komplizierte Terme in einem Integral vereinfachen. Damit kannst du auch Integrale berechnen, die keinem gängigen Verschachtelungstypen entsprechen und für die keine Stammfunktion nachzuschlagen ist.
Die zugehörige Formel lautet:
$\displaystyle\int\limits_{g(a)}^{g(b)}f(x)\mathrm{d}x=\int\limits_a^bf\left(g(x)\right)\cdot g'(x)\mathrm{d}x$

Die einfachste Anwendung der allgemeinen Formel erfolgt von rechts nach links: Du erkennst erkennt, dass im Integral eine Verschachtelung von zwei Funktionen $f$ und $g$ vorkommt, die mit $g’$ multipliziert wird, d.~h. du erkennst das Muster $f\left(g(x)\right)\cdot g'(x)$. In diesem Fall kannst du $g(x)$ einfach durch $x$ ersetzen und $g'(x)$ streichen, sofern du die Integrationsgrenzen $a$ und $b$ durch $g(a)$ und $g(b)$ ersetzt.

Die Integration durch Substitution kann immer dort angewendet werden, wo ein Faktor im Integranden die Ableitung eines anderen Teils im Integranden ist (vgl. Kettenregel bei der 1. Ableitung). Bei der Integration durch Substitution wird wird ein nicht direkt integrierbarer Term durch einen anderen Term ersetzt, zu dem wir eine Stammfunktion kennen. Die Substitutionsregel kann immer dann angewendet werden, wenn man beim Ableiten die Kettenregel verwenden würde. Ziel ist es, ein bestimmtes Integral über eine Standardfunktion zu erhalten, das nach der gängigen Methode berechnet wird: Stammfunktion bilden – Integrationsgrenzen einsetzen – Werte voneinander abziehen. Eine Anleitung hierzu findest du im Video Bestimmtes Integral berechnen.

In ihrer Allgemeinheit wird die Substitutionsregel selten geprüft. Häufig anzutreffen ist der Spezialfall der linearen Substitution, der im Video Integrationsregeln erklärt wird.

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Partielle Integration

 

 
 
 
 

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