Integrationsregeln: Zusammengesetzte Funktionen integrieren

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Integrationsregeln: Zusammengesetzte Funktionen integrieren

Integrationsregeln im Überbklick

Die Integrationsregeln helfen dir, zusammengesetzte Funktionen zu integrieren, für die du so keine Stammfunktion nachschlagen kannst. Die meisten Aufgaben im Abitur zum Thema Integralrechnung sind mehr oder weniger komplizierte Verschachtelungen der 5 wichtigsten Stammfunktionen, die man immer parat haben muss. Zusammengesetzte Funktionen integrieren funktioniert ganz einfach, wenn du die fünf wichtigsten Regeln der Integralrechnung kennst (Nach dieser Übersicht werden die fünf Integrationsregeln kurz erklärt. Anwendungsbeispiele und eine ausführliche Anleitung findest du jeweils im Lösungscoach):

Funktion Stammfunktion
1 $f(x)=\dfrac{g'(x)}{g(x)}$ $F(x)=\ln|g(x)|$)
2 $\dfrac{1}{x}$ $\ln|x|$
3 $f(x)=g(x)\pm h(x)$ $F(x)=G(x)\pm H(x)$
4 $f(x)=\lambda\cdot g(x)$ $F(x)=\lambda\cdot G(x)$
5 $f(x)=g(ax+b)$ $F(x)=\dfrac{1}{a}G(ax+b)$

Erläuterung der Integrationsregeln

  1. Wenn ein Bruch vorliegt, dessen Zähler die Ableitung des Nenners ist, dann ist die Stammfunktion gleich dem natürlichen Logarithmus des Nenners.
  2. Potenzregel: Steht vor einem Exponentialterm die Ableitung des Exponenten, dann erhältst du die Stammfunktion, indem du die Ableitung des Exponenten einfach weglässt.
  3. Summenregel: Die Summenregel besagt, dass eine Stammfunktion von der Summe/Differenz zweier Funktionen gegeben ist durch die Summe/Differenz der einzelnen Stammfunktionen
  4. Faktorregel: Die Faktorregel wird mit Abstand am häufigsten gebraucht (oft im Kombination mit den vier anderen Integrationsregeln). Sie besagt, dass eine Funktion mit einem Faktor integriert wird, in dem du die Funktion ohne den Faktor integrierst und den Faktor davor schreibst.
  5. Regel der linearen Substitution: Auch die Anwendung dieser Regel setzt voraus, dass man die Stammfunktionen der 5 Standardfunktionen bilden kann. Die Regel der linearen Substitution ist eng verwandet mit der Kettenregel beim Ableiten.

Anwendungsaufgabe

Zur Anwendung der Integrationsregeln bei zusammengesetzten Funktionen schauen wir uns jetzt noch eine Beispielaufgabe an:
Bestimme eine Stammfunktion $F$ von $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},x\mapsto 2x^3-\sin(x)$.
Schritt 1: Art der Verschachtelung erkennen

Der vorliegende Term ist eine Differenz der zwei einfacheren Funktionen $g(x)=2x^3$ und $h(x)=\sin(x)$. Also können wir die Summenregel anwenden. Dazu benötigen wir zuerst Stammfunktionen der Bausteine $g(x)$ und $h(x)$.
Achtung: diese Bausteine können wiederum Verschachtelungen sein.
Schritt 2: Stammfunktionen der einzelnen Bausteine bestimmen

$g(x)=2x^3$:
Die Stammfunktion für $x^3$ kennen wir, sie lautet $\frac14x^4$. Wir wenden die Faktorregel an und erhalten $G(x)=2\cdot\frac 14x^4=\frac 12x^4$ als Stammfunktion für $g$.

$h(x)=\sin(x)$:
Die Stammfunktion von $\sin(x)$ solltest du kennen, das ist nämlich $-\cos(x)$.

Schritt 3: Stammfunktionen der Teilterme zusammenführen

Wir wenden die Summenregel an und erhalten
$F(x)=G(x)-H(x) =$ $\frac 12x^4-(-\cos(x))$ = $\frac 12x^4+\cos(x)$
Lösung

$F(x)=\frac 12x^4+\cos(x)$ definiert eine Stammfunktion von $f$.

 

 
 
 
 

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