Inverse Matrix berechnen (3×3)

Eine inverse Matrix berechnen ist der wesentliche Schritt zur Lösung eines linearen Gleichungssystems in Matrixschreibweise. In diesem Video lernst du eine effiziente Technik zur Berechnung. Hierbei wird die Matrix mittels Zeilenumformungen Schritt für Schritt in eine Einheitsmatrix überführt.

Aufgabe

Bestimme eine inverse Matrix zu $M=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1\\1 & 0 & 1\\0 & 1 & -1\end{pmatrix}$.

Aufgabe

Wir suchen eine Matrix $A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}$ mit der Eigenschaft, dass $M\cdot A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ (also die Einheitsmatrix) ist. Man könnte jetzt ein riesiges lineares Gleichungssystem für die 9 Unbekannten aufstellen. Da das aber sehr aufwändig ist, nutzen wir die Methode über Zeilenumformungen.

Inverse Matrix über Einheitsmatrix

Schreibe zuerst die vorgegebene Matrix $M$ und 3×3-Einheitsmatrix $E=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ in eine Doppelmatrix:
$\left(M|E\right)=\left(\begin{matrix}1 & 2 & 1\\1 & 0 & 1\\0 & 1 & -1\end{matrix}\right|\left.\begin{matrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{matrix}\right)$.

Jetzt überführst du schrittweise die linke Hälfte der Doppelmatrix (also $M$) in die Einheitsmatrix. Das machst du mithilfe von Zeilenumformungen. Diese führst du auf der gesamten Doppelmatrix aus.
a) Für beliebige Zahlen $s$ und $t$ aus $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ und beliebige $k$ und $l\neq k$ aus $\{1;2;3\}$ kannst du die $k$-te Zeile durch $s\cdot k-te$ Zeile ersetzen.
b) Für beliebiges $s$ aus $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ und beliebiges $k$ aus $\{1;2;3\}$ kannst du die $k$-te Zeile mit $s$ multiplizieren.
c) Für beliebige $k$ und $l\neq k$ aus $\{1;2;3\}$ kannst du die $k$-te und die $l$-te Zeile vertauschen.

Die Reihenfolge der Umformungen wählst du wie folgt:

1. Zuerst stellst du sicher, dass oben links keine null steht, indem du ggf. die 1. Zeile mit einer anderen vertauschst
2. Dann bewerkstelligst du – ggf. unter Verwendung von Regel a) – dass links unten eine null steht.
3. Als nächstes muss der 1. Eintrag in der 2. Zeile null werden – dazu benutzt du wieder Regel a).
4. Der 2. Eintrag in der 3. Zeile muss jetzt null werden, benutze ggf. Regel a).
5. Im nächsten Schritt kannst du ohne weiteres die restlichen 3 Einträge außerhalb der Hauptdiagonale zu null machen.
6. Schließlich hat jede Zeile der linken Teilmatrix nur noch einen Eintrag 6= 0, durch den geteilt werden muss, um den Eintrag 1 zu bekommen.

Wie das im einzelnen Schritt für Schritt für unsere Beispielaufgabe funktioniert, erklären wir dir anschaulich und übersichtlich im Lösungscoach.

Lösung

Hier nur schnell noch das Ergebnis:
$\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{matrix}\right|\left.\begin{matrix}-0{,}5 & 1{,}5 & 1\\0{,}5 & -0{,}5 & 0\\0{,}5 & -0{,}5 & -1\end{matrix}\right)$.

Die inverse Matrix zur ursprünglichen linken Seite $M=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1\\1 & 0 & 1\\0 & 1 & -1\end{pmatrix}$ ist also die neue rechte Seite $M^{-1}=\begin{pmatrix}-0{,}5 & 1{,}5 & 1\\0{,}5 & -0{,}5 & 0\\0{,}5 & -0{,}5 & -1\end{pmatrix}$.