Zinseszins: Das Kapital nach n Jahren berechnen

 

Zinseszins: Das Kapital nach n Jahren berechnen

Mit der Formel zur Berechnung des Zinseszins (Zinseszinsformel) kann man berechnen, wie sich eine bestimmte Kapitalanlage über die Jahre hin vermehrt.
Betrachten wir hierzu eine Aufgabe:
Wie viel Kapital häuft sich bei einer Kapitalanlage von 12000 € und einem Zinssatz von 2,5% nach 5 Jahren insgesamt an?

Der Zinssatz bezieht sich immer auf die Jahreszinsen, d. h. er gibt an, welcher Anteil des Anfangskapitals am Ende eines Jahres als Zinsen ausbezahlt wird. Wenn eine Anlage über mehrere Jahre verzinst wird, ändert sich von Jahr zu Jahr der Zinsbetrag, obwohl der Zinssatz gleich bleibt. Das liegt daran, dass die Zinsen aufgrund des Kapitals am Jahresanfang berechnet werden und dieses Kapital ändert sich von Jahr zu Jahr, weil immer wieder die Zinsen vom Vorjahr hinzukommen. Das nennt man Zinseszins. Betrachten wir das vorgegebene Beispiel für die ersten 2 Jahre. Am Anfang (also nach 0 Jahren) beträgt das Gesamtkapital 12000 € und es sind noch keine Zinsen angefallen. Am Ende des 1. Jahres werden 2,5% des Kapitals vom Jahresanfang als Zinsen berechnet, wobei 2,5% von 12000 € genau 300 € entsprechen. Am Anfang des 2. Jahres hat der Anleger somit ein Kapital von 12 300 €. Die Zinsen für das 2. Jahr sind somit 2,5% von
12 300 €, also 307,50 €.
Nach zwei Jahren beträgt also das Gesamtkapital
Anfangskapital + Zinsen vom 1. Jahr + Zinsen vom 2. Jahr, also
$12000 € + 300 € + 307,50 € = 12 607,50 €$.
Mit diesem Schema wäre es sehr langwierig, das Gesamtkapital nach 5 Jahren zu berechnen. Stattdessen gibt es dafür eine fertige Formel, in die man nur das Anfangskapital K, den
Zinssatz p und die Anzahl der Jahre n einsetzen muss
Zinseszinsformel: $\text{Kapital nach }n\text{ Jahren} = K\cdot(1+p)^n$
Dabei ist $(1+p)^n=(1+p)\cdot(1+p)\cdot…\cdot(1+p)$,
also die Zahl 1 + p so oft mit sich selbst multipliziert, bis insgesamt n Faktoren dastehen.

Um den Zinseszins zu berechnen, schreiben wir im ersten Schritt den Zinssatz als Dezimalzahl (vgl. hierzu das Video Prozentsätze in Dezimalzahlen umwandeln und erhalten 0,025. Es gilt also $1 + p = 1 + 0,025 = 1,025$. Setzen wir für $n$ die Zahl 5 ein und geben $1,025^5$ in den Taschenrechner ein, so erhalten wir 1,131 408 212 890 625. Im letzten Schritt multiplizieren wir diese Zahl noch mit dem Anfangskapital $12 000 €$ und runden das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
Das Gesamtkapital nach 5 Jahren beträgt 13 576,90 €.

 

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