Koordinatenform einer Ebene aus Punkt und Normalenvektor

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Koordinatenform einer Ebene aus Punkt und Normalenvektor

In diesem Video erfährst du, wie du die Koordinatenform einer Ebene bestimmst, wenn bereits ein Punkt und ein Normalenvektor vorgegeben sind.
Für Abstandsberechnungen und Winkelbestimmungen mit Ebenen, ebenso wie die Berechnung des Schnittpunkts einer Ebene mit einer Gerade ist eine Koordinatengleichung der Ebene erforderlich. Hier liegt der einfachste Fall zur Bestimmung dieser Gleichung vor, weil ein Normalenvektor bereits bekannt ist.

Wichtig ist dabei, dass du folgende allgemeine Koordinatengleichung immer parat hast:
$ax+by+cz=d$.

Hierzu eine Beispiel-Aufgabe:
Ein Lichtstrahl trifft im Punkt $P(3|2|3)$ senkrecht auf eine Leinwand, die in einer Ebene $E$ liegt. Die Richtung des Lichtstrahls ist durch den Vektor $\vec{v}=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\1\end{array}\right)$ gegeben.
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene $E$.

Da der Lichtstrahl senkrecht auf die Leinwand trifft, steht der Vektor $\vec{v}$ senkrecht auf $E$, d. h. $\vec{v}$ ist ein Normalenvektor von $E$. Die Bestimmung einer Koordinatenform erfordert bei Abituraufgaben meistens zuerst die Berechnung eines Normalenvektors, die den größten Teil der Zeit beansprucht. Ausgehend von einem Punkt und einem Normalenvektor ist die Koordinatenform dann schnell bestimmt.

Der Clou liegt darin, dass die ersten drei Koeffizienten ($a$, $b$ und $c$) die Koordinaten eines Normalenvektors sind.

Schritt 1: Koordinaten eines Normalenvektors als Koeffizienten einsetzen
Die Koordinatenform erfordert die Bestimmung der vier Koeffizienten $a$, $b$, $c$ und $d$. Zu jeder Ebene gibt es unendlich viele verschiedene Gleichungen, die sich nur dadurch unterscheiden, dass alle Koeffizienten mit derselben Zahl multipliziert werden. Für $a$, $b$ und $c$ setzt du die Koordinaten eines beliebigen Normalenvektors ein – hier bietet sich der Vektor $\vec{v}$ an:
$\vec{v}=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\1\end{array}\right)\perp E$ → dann setze $a=3$, $b=1$ und $c=1$.

Wenn wir diesen in die allgemeine Koordinatenform einsetzen, erhalten wir:
$E:3x+y+z=d$ und es bleibt nur noch $d$ zu bestimmen.

Schritt 2: Koordinaten eines Punktes bestimmen
Der Punkt $P(3|2|3)$ liegt laut Aufgabenstellung auf $E$, also müssen die Koordinaten von $P$ die Gleichung von $E$ erfüllen:
$P\in E$ → $3\cdot3+2+3=d$ → $d=14$.

 

 
 
 
 

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