Koordinatenform in Parameterform umwandeln

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Koordinatenform in Parameterform umwandeln

Im Video Koordinatenform in Parameterform umwandeln zum Thema Ebenengleichungen lernst du kurz und bündig, wie du eine Ebene, die in Koordinatenform angegeben ist, in die Parameterform umwandelst. Diese Aufgabe ist die Umkehrung des Klassikers, bei dem eine Ebene in Parameterform in Koordinatenform umgewandelt werden muss. Bei dieser Aufgabe der Umwandlung von Koordinatenform in Parameterform beruht die Lösung auf der geschickten Wahl zweier Koordinaten als Laufparameter.
Sehen wir uns hierzu eine Beispielaufgabe an: Bestimme für die Ebene $E:x-2y+3z=-1$ eine Parametergleichung.

Der übliche Weg zur Bestimmung einer Parametergleichung geht über die Bestimmung eines Punktes und zweier Richtungsvektoren der Ebene. Aber das ist sehr umständlich, wenn keine Punkte vorgegeben sind. Stattdessen wählen wir einfach zwei der drei Koordinaten als Laufparameter. Vorzugsweise sind das diejenigen, die nicht in der Koordinatengleichung auftauchen. Hier kommen alle drei Koordinaten $x$, $y$ und $z$ vor, also haben wir freie Wahl. Tipp: Wenn eine der Koordinaten den Koeffizienten 1 hat (wie zum Beispiel in der folgenden Gleichung $(1)x$, dann wähle die anderen beiden als Laufparameter; hier also $y$ und $z$. Wie du die beiden Parameter nennst, ist egal, so lange sie nicht schon für andere Zwecke vergeben sind. Den ersten Parameter nennen wir $\lambda$ und den zweiten $\mu$. Wir setzen also $y=\lambda$ und $z=\mu$.

Diese beiden Parameter setzt du in die Koordinatengleichung ein und erhältst: $x-2\lambda+3\mu=-1$.
Diese Gleichung löst du im nächsten Schritt nach der einzigen verbleibenden Koordinate auf, hier $x$:
$x-2\lambda+3\mu=-1$ → $x=-1+2\lambda-3\mu$.

Jetzt haben wir für jede der drei Koordinaten $x$, $y$ und $z$ eine Gleichung:
$\begin{align}
x&=-1+2\lambda-3\mu\\
y&=\lambda\\
z&=\mu
\end{align}$

Diese drei Gleichungen fasst du in einer Vektorgleichung zusammen. Jede Komponente auf der rechten Seite besteht aus drei Teilen: einer Zahl, einem Vielfachen von $\lambda$ und einem Vielfachen von $\mu$. Du spaltest jeden Vektor in seine drei Teile auf: Einen ohne Parameter, einen Teil nur mit Parameter $\lambda$ und einen Teil nur mit $\mu$. Schließlich ziehst du die Parameter vor die Vektoren.
$\left(\begin{array}{c}x\\y \\z \end{array}\right)
=\left(\begin{array}{c}-1+2\lambda -3\mu\\ \lambda \\ \mu\end{array}\right)\\
=\left(\begin{array}{c}-1+2\lambda -3\mu\\ 0+1\lambda + 0\mu \\ 0 + 0\lambda +\mu\end{array}\right)\\
=\left(\begin{array}{c}-1\\ 0 \\ 0 \end{array}\right)+ \left(\begin{array}{c}2\lambda\\ 1\lambda \\ 0 \lambda \end{array}\right)+ \left(\begin{array}{c}-3 \mu\\ 0\mu \\ 1\mu \end{array}\right)\\
=\left(\begin{array}{c}-1\\ 0 \\ 0 \end{array}\right)+ \lambda \left(\begin{array}{c}2\\ 1 \\ 0 \end{array}\right)+\mu \left(\begin{array}{c}-3 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)
$

Bei der Umwandlung der Koordinatenform in Parameterform erhältst du folgende Lösung: Eine Parametergleichung der Ebene lautet
$E: \overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}x\\y \\z \end{array}\right)+ \lambda \left(\begin{array}{c}2\\ 1 \\ 0 \end{array}\right)+\mu \left(\begin{array}{c}-3 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)$

 

 
 
 
 

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