Kreuzprodukt, Vektorprodukt zweier Vektoren berechnen

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Kreuzprodukt, Vektorprodukt zweier Vektoren berechnen

Das Kreuzprodukt (oder Vektorprodukt) liefert schnell zu zwei vorgegebenen Vektoren einen dritten, der auf den anderen beiden senkrecht steht. Das bedeutet, dieser Vektor steht senkrecht auf der von den beiden Vektoren aufgespannten Ebene. Die Bestimmung eines Vektors, der auf zwei vorgegebenen Vektoren senkrecht steht, spielt eine wichtige Rolle bei der Abstandsberechnung zweier windschiefer Geraden. Vor allem brauchst du diese Technik, wenn du eine Ebene von Parameterform in Koordinatenform umwandeln musst.
Prinzipiell gibt es dafür zwei Methoden. Die schnellere erfordert das Kreuzprodukt (auch Vektorprodukt genannt) und wird hier vorgestellt. In manchen Kursen und Bundesländern wird das Kreuzprodukt nicht behandelt, in diesem Fall und es wird stattdessen auf die zweite Methode zurückgegriffen, die im Video Normalenvektor über Skalarprodukt berechnen erklärt wird. Das Kreuzprodukt zweier Vektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$ ist selbst wieder ein Vektor, der auf den anderen beiden senkrecht steht. Die Länge von $\vec{v}\times\vec{w}$ hat eine besondere geometrische Bedeutung, denn sie entspricht dem Flächeninhalt eines Parallelogramms, das von den beiden Vektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$ aufgespannt wird.

Betrachten wir eine Beispiel-Aufgabe zum Kreuzprodukt:
Gegeben sind die Vektoren $\vec{w}=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\2\end{array}\right)$ und $\vec{w}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\1\end{array}\right)$. Bestimme mit dem Kreuzprodukt / Vektorprodukt einen Vektor $\vec{n}$, der zugleich auf $\vec{v}$ und auf $\vec{w}$ senkrecht steht.

Für das Kreuzprodukt gibt es eine Formel, die du zur Lösung dieser Aufgabe anwendest:
$\left(\begin{array}{c}v_1\\ v_2\\v_3\end{array}\right) \times
\left(\begin{array}{c}w_1\\ w_2\\w_3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}v_2 \cdot w_3 – v_3 \cdot w_2\\ v_3 \cdot w_1 – v_1 \cdot w_3\\v_1 \cdot w_2 – v_2 \cdot w_1\end{array}\right)$

Im unserem Fall ergibt sich somit:
$\vec{v}\times\vec{w}= \left(\begin{array}{c}2\\ -1\\2\end{array}\right) \times
\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\1\end{array}\right) \\= \left(\begin{array}{c}(-1) \cdot 1 – 2 \cdot 1\\ 2 \cdot 0 – 2 \cdot 1\\2 \cdot 1 – (-1) \cdot 0\end{array}\right) \\
=\left(\begin{array}{c}-3\\ -2\\2\end{array}\right)$

Damit haben wir unsere Lösung:
Der Vektor $\vec{n}=\left(\begin{array}{c}-3\\ -2\\2\end{array}\right)$ steht senkrecht auf den beiden Vektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$.

Bemerkung: Man kann als Lösung auch jedes beliebige Vielfache von $\left(\begin{array}{c}-3\\ -2\\2\end{array}\right)$ angeben, zum Beispiel $(-1) \cdot\left(\begin{array}{c}-3\\ -2\\2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}3\\ 2\\-2\end{array}\right)$.

Tipp:
Wenn du einen Vektor hast, der senkrecht auf den beiden vorgegebenen Vektoren steht, dann behält er diese Eigenschaft, wenn du ihn mit einer beliebigen reellen Zahl multiplizierst.
Das kannst du ausnutzen, um spätere Berechnungen zu vereinfachen: Wenn du als Ergebnis ein Vielfaches eines einfacheren Vektors erhältst, dann empfiehlt es sich, den einfacheren Vektor für die weiteren Berechnungen zu verwenden.
Man würde also z. B. mit $\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\-1\end{array}\right)$ statt mit $\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\2\end{array}\right)$ und mit $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\1\end{array}\right)$ anstelle von $\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\3\end{array}\right)$ weiter rechnen.

 

 
 
 
 

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