Krümmungsverhalten untersuchen

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Krümmungsverhalten untersuchen

Was bedeutet Krümmungsverhalten?

Das Krümmungsverhalten einer Funktion untersuchen ist eine typische Anwendung der Differentialrechnung, die oft im Abitur verlangt wird. Hier lernst du, wie du mit Hilfe der 2. Ableitung feststellst, wo ein Funktionsgraph rechts- bzw. linksgekrümmt ist.

Das Krümmungsverhalten einer Funktion zu untersuchen beinhaltet drei Aspekte:

  1. Bestimmung aller Wendepunkte
  2. Bestimmung aller Bereiche, wo die Funktion linksgekrümmt ist
  3. Bestimmung aller Bereiche, wo die Funktion rechtsgekrümmt ist.

Linkskrümmung bedeutet anschaulich, dass ein Punkt, der die Kurve von links nach rechts durchfährt, in diesem Bereich eine Linkskurve macht.
Bedingung dafür ist, dass die Steigung (s. hierzu das Video Monotonieverhalten untersuchen) zunimmt.

Rechtskrümmung bedeutet anschaulich, dass ein Punkt, der die Kurve von links nach rechts durchfährt, in diesem Bereich eine Rechtskurve macht. Bedingung dafür ist, dass die Steigung abnimmt.

Die Wendepunkte sind die Übergangspunkte zwischen links- und rechtsgekrümmten Bereichen.

Aufgabe: Krümmungsverhalten

Untersuche das Krümmungsverhalten der Funktion $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ mit $f(x)=x^3-3x+1$.
Schritt 1: 1. und 2. Ableitung bestimmen

Grundlage für die Untersuchung der Krümmung ist die 2. Ableitung der Funktion:
Ist $f“(x) < 0$, dann ist $G_f$ rechtsgekrümmt
Ist $f“(x) > 0$, dann ist $G_f$ linksgekrümmt

Die 2. Ableitung erhältst du durch Ableiten der 1. Ableitung:
$f'(x)=3x^2-3$ → $f“(x)=3\cdot 2x=6x$

Schritt 2: Vorzeichentabelle der 2. Ableitung erstellen

Um herauszufinden, wo die 2. Ableitung positiv ist und wo negativ, bestimmst du zuerst ihre Nullstellen. Die zweite Ableitung hat bei $x=0$ eine Nullstelle. Diese Nullstelle trennt zwei Bereiche, auf denen wir das Vorzeichen von $f“$ untersuchen müssen: zum einen der Bereich $x<0$ und zum anderen der Bereich $x>0$. Jetzt wählst du aus jedem Bereich eine beliebige Zahl (am besten eine, mit der sich gut rechnen lässt) und setzt sie in $f“(x)$ ein.

Beispiel:

Bereich: $x < 0$, Beispiel: $x=-1$ Funktionswert: $f''(-1)=-6$ $\Rightarrow$ Vorzeichen: negativ Bereich: $x > 0$, Beispiel: $x=1$, funktionswert: $f“(1)$ = 6 $\Rightarrow$ Vorzeichen: positiv

Dadurch ergibt sich, dass für alle $x <0$ die 2. Ableitung ein negatives Vorzeichen hat. Damit ist sie in diesem Bereich rechtsgekrümmt. Außerdem dass die 2. Ableitung für alle $x > 0$ ein positives Vorzeichen hat und damit linksgekrümmt ist.

Lösung

Der Funktionsgraph geht bei $x=0$ von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung über. Somit liegt bei $x=0$ eine Wendestelle vor.

 

 
 
 
 

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