Kumulierte Binomialverteilung mit Tabellen

Die Werte für kumulierte Binomialverteilung (für die Wahrscheinlichkeit von höchstens k Treffern) und die nicht-kumulierte (für die Wahrscheinlichkeit von
genau k Treffern) findest du in zwei unterschiedlichen Tabellen. Hier lernst du, wie du kumulierte Wahrscheinlichkeiten einer Binomialverteilung mit stochastischen Tabellen berechnest.

Aufgabe

Eine Firma produziert Glühbirnen. Die Ware wird vor dem Verpacken geprüft und im Falle von Mängeln ausgesondert. Im Verlauf der Jahre hat sich ergeben, dass 2% der Glühbirnen fehlerhaft sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 1000 geprüften Lampen höchstens 15 ausgesondert werden müssen? Benutze für die Lösung geeignete stochastische Tabellen.

Lösungsansatz

Bei jeder Einzelprüfung gibt es zwei Möglichkeiten: entweder die Glühbirne wird ausgesondert (das geschieht mit Wahrscheinlichkeit $2\,\%$) oder nicht. Es werden 1000 Lampen unabhängig voneinander untersucht und zum Schluss gezählt, wie viele ausgesondert werden müssen. Die Situation ist also analog einem 1000-maligem Münzwurf, nur dass die Trefferwahrscheinlichkeit nicht $50\,\%$, sondern $2\,\%$ beträgt (wir betrachten die Feststellung von Mängeln als Treffer). Ein solches Experiment heißt Bernoulli-Kette der Länge $n=1000$, hier mit Trefferwahrscheinlichkeit $p=0{,}02$.

Im Video zum Thema Bernoulli-Formel wird bei einer solchen Bernoulli-Kette nach der Wahrscheinlichkeit einer festen Anzahl von Treffern gefragt, hier hingegen nach der Wahrscheinlichkeit von höchstens 15 Treffern. Die Wahrscheinlichkeiten für Ketten der Länge 100 oder 200 oder 1000 sind in den üblichen stochastischen Tabellen aufgeführt, die oft den Abituraufgaben beiliegen oder mitgeführt werden dürfen. Hier wird ausdrücklich deren Verwendung verlangt, ansonsten könnte man auch mit einem graphikfähigen Taschenrechner (s. Video zusammengesetzte Wahrscheinlichkeiten mit GTR) arbeiten. Wichtig ist, dass du die Tabellen für die Binomialverteilung benutzt (und nicht etwa diejenigen für die Standardnormalverteilung, die manchmal auch dabei sind). Da es in dieser Aufgabe um den Fall geht, dass höchsten 15 Trffer eintreten, benötigst du die Tabelle für die kumulierte Binomialverteilung.

Wahrscheinlichkeit im Tafelwerk nachschlagen

Die Zahl der mangelhaften Glühbirnen ist eine Zufallszahl, die wir mit $X$ bezeichnen. Gefragt ist die Wahrscheinlichkeit, dass $X\leq 15$ ausfällt, also $P(X\leq 15)$. In gängigen stochastischen Tabellensammlungen werden zuerst die nicht-kumulativen Verteilungstabellen aufgeführt, dann die kumulativen. Die Tabellen sind geordnet nach dem Parameter $n$ (Stichprobenumfang), d. h. die von uns gebrauchte kumulative Verteilungstabelle für $n=1000$ befindet sich ziemlich weit hinten.

Wie sie aussieht und wie du den richtigen Eintrag findest, siehst du im Lösungscoach.

Hier nur kurz das Ergebnis: Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt $0{,}1539$.

Lösung

Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa $15{,}4\,\%$ müssen höchstens 15 der 1000 Glühbirnen ausgesondert werden.

Bemerkung:

Wenn statt „höchstens 15“ in der Fragestellung „mindestens 15“ steht, dann musst du die Wahrscheinlichkeit erst als Gegenereignis umformen:

$P\left(\text{„mindestens 15“}\right)=P(X\geq 15)=1-P(X\leq 14)$
wobei du $P(X\leq 14)=P\left(\text{„höchstens 14“}\right)\approx 0{,}1025$ in der Tabelle nachschlagen kannst.