Laplace-Wahrscheinlichkeiten berechnen

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Laplace-Wahrscheinlichkeiten berechnen

Eine Grundformel aus der Mittelstufe, die immer wieder auch im Abitur gebraucht wird, ist die Formel von Laplace. Mit ihr werden Wahrscheinlichkeiten einer Gleichverteilung berechnet. Hier wird die Formel am Beispiel eines Würfelwurfs kurz wiederholt.

Aufgabe

Es wird dreimal ein Würfel geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit beträgt die Augensumme insgesamt genau 6?

Lösungsansatz

Dies ist der klassische Fall für die Formel von Laplace, denn alle Wurfkombinationen werden als gleich wahrscheinlich angenommen. Ein Würfel, der dies gewährleistet wird auch Laplace-Würfel genannt. Es geht nur darum, zu zählen, wie viele Wurfkombinationen
es insgesamt gibt und wie viele davon genau die Augensumme 6 ergeben.

Schritt 1: Anzahl der Möglichkeiten berechnen, dass das Ereignis eintritt

Um zu ermitteln, wie wahrscheinlich das Ereignis ist, dass die Augensumme nach drei Würfen genau 6 beträgt, zählst du zunächst, auf wie viele Arten dieses Ereignis eintreten kann.
Liefert der erste Wurf das Ergebnis 1, so müssen die anderen beiden Würfe zusammen 5 ergeben. Dafür gibt es folgende 4 Möglichkeiten:
1) zweiter Wurf 1, dritter Wurf 4 oder
2) zweiter Wurf 2, dritter Wurf 3 oder
3) zweiter Wurf 3, dritter Wurf 2 oder
4) zweiter Wurf 4, dritter Wurf 1

Liefert der erste Wurf das Ergebnis 2, so müssen die anderen beiden Würfe zusammen 4 ergeben. Dafür gibt es folgende 3 Möglichkeiten:
1) zweiter Wurf 1, dritter Wurf 3 oder
2) zweiter Wurf 2, dritter Wurf 2 oder
3) zweiter Wurf 3, dritter Wurf 1

Liefert der erste Wurf das Ergebnis 3, so müssen die anderen beiden Würfe zusammen 3 ergeben. Dafür gibt es folgende 2 Möglichkeiten:

1) zweiter Wurf 1, dritter Wurf 2 oder
2) zweiter Wurf 2, dritter Wurf 1

Liefert der erste Wurf das Ergebnis 4, so kann nur noch dann die Augensumme 6 herauskommen, wenn die beiden anderen Würfe jeweils 1 ergeben.
Für unser Ereignis gibt es also insgesamt 4 + 3 + 2 + 1 = 10 Möglichkeiten.

Schritt 2: Anzahl aller möglichen Ergebnisse bestimmen

Für den ersten Wurf gibt es sechs Möglichkeiten, für jede davon wiederum 6 Möglichkeiten für den zweiten Wurf, also 6 · 6 = 36 Möglichkeiten für die ersten zwei Würfe. Für jeden dieser 36 Ausgänge der ersten zwei Würfe gibt es wiederum 6 Möglichkeiten für den 3. Wurf, d. h. es gibt insgesamt 36 · 6 = 216 mögliche Ergebnisse für das dreimalige Würfeln.

Schritt 3: Formel von Laplace anwenden

Die Formel von Laplace für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses $E$ bei Gleichverteilung solltest du auswendig lernen, sie lautet:

$Wahrscheinlichkeit \, von \, E = \frac {Anzahl\, der Möglichkeiten, \, dass \, E\, eintritt}{Anzahl \, aller\, Möglichkeiten}$

Nach Schritt 1 gibt es 10 Möglichkeiten, dass die Augensumme 6 beträgt. Nach Schritt 2 gibt es insgesamt 216 mögliche Ausgänge beim dreimaligen Würfeln. Also ist die gesuchte
Wahrscheinlichkeit:

$\frac {10}{216}= \frac {5}{108}$.

Lösung

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme insgesamt 6 beträgt, ist $\frac {5}{108}$.

 

 
 
 
 

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