Lineares Gleichungssystem mit 3 Unbekannten und 3 Gleichungen

Ein lineares Gleichungssystem mit 3 Unbekannten und 3 Gleichungen kannst du durch die Rückführung auf Zeilenstufenform lösen.
Lineare Gleichungssysteme mit 2 Unbekannten kennst du schon aus der Mittelstufe (ansonsten haben wir natürlich auch das passende Erklärvideo) – in der Oberstufe kommen nun Gleichungssysteme mit 3 Unbekannten und mehr dazu, wobei sich eine größere Vielfalt an Erscheinungsformen auftut. Jede lineare Gleichung mit 3 Unbekannten stellt eine Ebene im dreidimensionalen Raum dar, d. h. die Lösungen einer solchen Gleichung sind die Koordinaten der Punkte auf einer Ebene. Die Lösung eines solchen Gleichungssystem mit 3 Unbekannten sind dann gemeinsame Punkte aller beteiligten Ebenen.

Hierzu eine Beispielaufgabe:
$\begin{align}
I: & &x&-& &y&+&2&z &= &0\\
II: & &x&+& &y&+& &z &= &3\\
III: & &x&+&3&y&+&3&z &= &3
\end{align}$

Dieses lineare Gleichungssystem mit 3 Unbekannten und 3 Gleichungen kannst du dir als drei Ebenen vorstellen, die sich in einem Punkt schneiden. Die Lösung dieses Gleichungssystems ist dieser Schnittpunkt.

Schritt 1: Gleichungssystem in Zeilenstufenform bringen

Zuerst formst du das Gleichungssystem mit 3 Unbekannten so um, dass in der zweiten Gleichung die erste Unbekannte nicht mehr vorkommt und in der dritten Gleichung die ersten beiden Unbekannten wegfallen. So ergibt sich dann ein Gleichungssystem in Zeilenstufenform, das schnell gelöst werden kann. Die konkrete Rechnung sparen wir uns an dieser Stelle, du kannst sie im Lösungscoach Schritt für Schritt nachvollziehen.
Um die Variable $x$ aus der zweiten Gleichung zu entfernen, ziehst du von ihr die erste Gleichung ab. Das Ergebnis bezeichnen wir als II‘ und setzen es an die Stelle von II im ursprünglichen Gleichungssystem. Um die Unbekannte $x$ auch aus der dritten Gleichung zu eliminieren, ziehen wir die erste Gleichung von ihr ab. Die dritte Gleichung der Zeilenstufenform darf nur noch die dritte Unbekannte enthalten; das erreichen wir, indem das letzte Ergebnis mit II‘ verrechnen, um die Variable $y$ loszuwerden.

Schritt 2: Gleichungen von unten nach oben lösen
Die letzte Gleichung liefert und die $z$-Koordinate der Lösung. Dieses Ergebnis wird in II‘ eingesetzt und liefert uns die $y$-Koordinate. Diese beiden Ergebnisse setzt du in die erste Gleichung ein und erhältst so die $x$-Koordinaten.
Unser lineares Gleichungssystem mit 3 Unbekannten hat eine eindeutig bestimmte Lösung mit den Koordinaten $x=3$, $y=1$ und $z=-1$. Die Lösungsmenge des vorgegebenen Gleichungssystem ist also $\mathbb{L}=\big\{(3|1|-1)\big\}$.

Übrigens, wenn du ein Gleichungssystem mit 3 Unbekannten, aber nur 2 Gleichungen hast, dann drückst du eine davon als Parameter aus. Wie das funktioniert, erfährst du im Video Lineares Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 3 Unbekannten lösen.