Mit der Kettenregel ableiten

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Mit der Kettenregel ableiten

Aufgabenbeispiel zur Kettenregel

Die Kettenregel wird, wie ihr Name schon sagt, angewendet, um verkettete Funktionen abzuleiten. Wir erklären dir im Video schnell und verständlich, wie du die 1. Ableitung einer zusammengesetzten Funktion mithilfe der Kettenregel berechnest.
Bestimme die 1. Ableitung der Funktion
$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},x\mapsto\ln(x^2+1)$.
Ableitungsregeln: Übersicht

Die folgende Funktion entspricht keiner der 6 Grundfunktionen, deren Ableitungen du auswendig kennen solltest (s. hierzu das Video 1. Ableitung: Ableitung der Grundfunktionen). Daher musst du eine der Ableitungsregeln anwenden. Die folgenden vier Ableitungsregeln solltest du anwenden können:

  1. Summenregel:$f=g+h$ ⇒ $f’=g’+h’$
  2. Kettenregel: $f=g\circ h$ ⇒ $f’=(g’\circ h)\cdot h’$
  3. Produktregel: $f=g\cdot h$ ⇒ $f’=g’\cdot h+g\cdot h’$
  4. Quotientenregel: $\displaystyle f=\frac{g}{h}$ ⇒ $f’=\frac{g’\cdot h-g\cdot h‘}{h^2}$

Zu Quotientenregel und Produktregel gibt es jeweils ein eigenes Video. Im folgenden erfährst du, wie du verkettete Funktionen ableitest, denn bei dem vorgegebenen Funktionsterm ist die Logarithmusfunktion $x\mapsto\ln$ mit der ganzrationalen Funktion $x \mapsto x^2 + 1$ verkettet. In diesem Fall wird letztere in die erstere eingesetzt. Deshalb ist hier die Anwendung der Kettenregel erforderlich.

Schritt 1: Kettenregel anwenden

Der Übersichtlichkeit halber nennen wir die äußere Funktion der Verkettung $g$ und die innere Funktion $h$: $g(x) = ln x$ und $h(x)=x^2 + 1$. Dann ist
$f(x)= g(h(x)) = g \circ h(x)$
und nach der Kettenregel ist
$f'(x)= (g‘ \circ h)(x) \cdot h'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

Um die rechte Seite der Gleichung auszurechnen, benötigst du die Ableitungen von $g$ und $h$. Die Ableitung von $g(x)= ln\,x$ solltest du auswendig wissen, denn sie gehört zum Standardprogramm im Bereich Ableitung.
$g'(x)= (ln \,x)’= \frac 1x$

Die Funktion $h$ mit $h(x)=x^2+1$ ist eine Summe aus der Potenzfunktion $x^2$ und der Konstanten $1$. Daher wenden wir hier zunächst die Summenregel an.
$h(x)= x^2 + 1$ ⇒ $h'(x)= (x^2)‘ + 1’$.

Für die Potenzfunktion gilt $(x^2)’= 2 \cdot x^{2-1}= 2x$ und für die Konstante $1’= 0$. Eingesetzt in die Gleichung für $h’$ liefert das
$h'(x)=2x$.

Die beiden Ableitungsterme setzt du jetzt in die Formel für die Kettenregel ein:
$f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)\\
=\frac{1}{x^2+1}\cdot 2x.$

Schritt 2: Ergebnis vereinfachen

Jetzt solltest du das Ergebnis aus Schritt 1 noch so weit wie möglich vereinfachen. In diesem Fall geht das besonders schnell:
$f'(x)=\frac{1}{x^2+1}\cdot 2x=\frac{2x}{x^2+1}$.
Lösung

$f'(x)= \frac{2x}{x^2+1}$

 

 
 
 
 

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