Die Produktregel wird, wie ihr Name schon sagt, angewendet, um ein Produkt aus zwei Grundfunktionen abzuleiten. Wir erklären dir im Video schnell und verständlich, wie du die 1. Ableitung eines Produkts mithilfe der Produktregel berechnest. Hier eine Anwendungsaufgabe:
Gegeben sei die Funktion $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ durch $f(x)=x^4e^x$.
Bestimme die Steigung des Graphen von $f$ an der Stelle $x=1$.

Die Steigung eines Graphen ist immer gegeben durch den Wert der zugehörigen Ableitungsfunktion. Da die vorliegende Funktion keiner der 6 Grundfunktionen entspricht, deren Ableitungen
als bekannt vorausgesetzt werden (s. hierzu das Video 1. Ableitung berechnen: Grundfunktionen ableiten), ist hier die Anwendung einer Ableitungsregel gefragt. Die folgenden vier Ableitungsregeln solltest du kennen und anwenden können:

1. Summenregel:$f=g+h$ ⇒ $f’=g’+h’$
2. Kettenregel: $f=g\circ h$ ⇒ $f’=(g’\circ h)\cdot h’$
3. Produktregel: $f=g\cdot h$ ⇒ $f’=g’\cdot h+g\cdot h’$
4. Quotientenregel: $\displaystyle f=\frac{g}{h}$ ⇒ $f’=\frac{g’\cdot h-g\cdot h‘}{h^2}$

Welche der Ableitungsregeln zum Einsatz kommt, entscheidet die Grobstruktur des vorgegebenen Funktionsterms. Handelt es sich um eine Summe, dann braucht man die Summenregel, bei einer Verkettung die Kettenregel, bei einem Produkt die Produktregel und bei einem Bruch die Quotientenregel. Die Kettenregel und die Quotientenregel werden jeweils in einem eigenen Video erklärt. Der in der Aufgabenstellung vorgegebene Term ist ein Produkt, daher zeigen wir dir im folgenden, wie du die Produktregel anwendest, um die 1. Ableitung der Funktion zu bilden.

Der vorgegebene Term $f(x)=x^4e^x$ ist ein Produkt aus den zwei Grundfunktionen $g(x)=x^4$ und $h(x)=e^x$. Deren Ableitungen solltest du kennen, denn sie gehören zum Standardprogramm und werden als bekannt vorausgesetzt. Eine Übersicht über die 6 wichtigsten Grundfunktionen mit ihren Ableitungen findest du im Video 1. Ableitung berechnen.
Es gilt $g'(x)=4x^3$ und $h'(x)=e^x$. Also folgt mit der Produktregel:
$f'(x)=g(x)\cdot h'(x)+g'(x)\cdot h(x)\\
=x^4\cdot e^x+4x^3\cdot e^x$.

Der ursprüngliche Term ist ein Produkt aus einer ganzrationalen Funktion $g(x)=x^4$ und einer e-Funktion $h(x)= e^x$.
Die Ableitung einer solchen Funktion ist immer vom gleichen Typ. Denn nach Anwendung der Produktregel erhält man eine Summe, aus der man den Exponentialterm ausklammern kann:

$f'(x)=x^4\cdot e^x+4x^3\cdot e^x\\
=(x^4+4x^3)e^x\\
=(x+4)x^3e^x$.

Der letzte Umformungsschritt wird zwar nicht zwingend verlangt, aber damit ist der Term vollständig faktorisiert. Damit kann man dann bei Bedarf sehr leicht die Nullstellen berechnen.

Gefragt wurde nach der Steigung der Funktion $f$ an der Stelle $x=1$. Das ist der Wert der 1. Ableitung bei $x=1$. Also
$f'(1)= (1+4) \cdot 1^3 \cdot e^1 = 5e$. Das ist ungefähr $13,6$.

Der Graph von $f$ hat bei $x=1$ die Steigung $5e \approx 13,6$.