Mit der Quotientenregel ableiten
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Mit der Quotientenregel ableiten
Die Quotientenregel ist eine der vier wichtigen Ableitungsregeln und wird bei Brüchen (gebrochenrationalen Funktionen) angewendet. Dazu eine Aufgabe:
Bestimme die 1. Ableitung von $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ mit $f(x)=\dfrac{\sin x}{e^x}$.
Da die vorliegende Funktion keiner der 6 Grundfunktionen (s. hierzu das Video Ableitung der Grundfunktionen) entspricht, deren Ableitungen als bekannt vorausgesetzt werden, ist hier die Anwendung einer Ableitungsregel gefragt. Im Abitur werden vier gängige Ableitungsregeln abgefragt:
- Summenregel:$f=g+h$ ⇒ $f’=g’+h’$
- Kettenregel: $f=g\circ h$ ⇒ $f’=(g’\circ h)\cdot h’$
- Produktregel: $f=g\cdot h$ ⇒ $f’=g’\cdot h+g\cdot h’$
- Quotientenregel: $\displaystyle f=\frac{g}{h}$ ⇒ $f’=\frac{g’\cdot h-g\cdot h‘}{h^2}$
Um zu entscheiden, welche Ableitungsregel gebraucht wird, muss man also die Grobstruktur des vorgegebenen Funktionsterms untersuchen: Handelt es sich um eine Summe, so braucht man die Summenregel, bei einer Verkettung die Kettenregel, bei einem Produkt die Produktregel und bei einem Bruch die Quotientenregel. Bei Brüchen der Form $\dfrac 1{x^n}$ mit $n\in\mathbb{N}$ kann man auf die Quotientenregel verzichten, indem man den Term als Potenz mit negativem Exponenten auffasst: $\left(\dfrac 1{x^n}\right)’=\left(x^{-n}\right)’=(-n)\cdot x^{-n-1}=-\dfrac n{x^{n+1}}$.
Die vorliegende Term $f(x)=\dfrac{\sin x}{e^x}$ ist ein Quotient aus zwei Grundfunktionen $g(x)=\sin x$ und $h(x)=e^x$, deren Ableitungen als bekannt vorausgesetzt werden. Daher wenden wir hier die Quotientenregel an.
Es gilt $g'(x)=\cos x$ und $h'(x)=e^x$. Also folgt mit der Quotientenregel:
$f'(x)=\frac{g'(x)\cdot h(x)-g(x)\cdot h'(x)}{\left(h(x)\right)^2}\\
=\frac{(\sin x)’\cdot e^x-\sin x\cdot (e^x)‘}{(e^x)^2}\\
=\frac{\cos x\cdot e^x-\sin x\cdot e^x}{e^{2x}}$
Der Term aus Schritt 1 lässt sich vereinfachen, indem man den Exponentialterm ausklammert (das ist immer der Fall, wenn im Nenner der ursprünglichen Funktion eine e-Funktion steht):
$f'(x)=\frac{\cos x\cdot e^x-\sin x\cdot e^x}{e^{2x}}\\
=\frac{(\cos x-\sin x)e^x}{e^{2x}}\\
=\frac{\cos x-\sin x}{e^x}$
$f'(x)=\dfrac{\cos x-\sin x}{e^x}$
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