Das Monotonieverhalten einer Funktion gibt an, in welchen Bereichen eine Funktion steigt bzw. fällt. Grundsätzlich bestimmt man das Monotonieverhalten einer Funktion mit der 1. Ableitung. Sie beschreibt nämlich den Verlauf der Steigung des Graphen. Die übersichtlichste Art, die relevanten Informationen darzustellen, ist eine Vorzeichentabelle der 1. Ableitung.

Untersuche die Funktion $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},x\mapsto\ln(x^2+1)$ auf Monotonie.

Das Monotonieverhalten einer Funktion untersuchst du in drei Schritten

1. Im ersten Schritt bildest du die 1. Ableitung der Funktion.
2. Wenn du die 1. Ableitung berechnet hast, musst die diese im zweiten Schritt gleich null setzen. Das bedeutet, du bestimmst die Nullstellen des zuvor berechneten Ableitungsterms.
3. Um jetzt das Monotonieverhalten der Funktion zu bestimmen, erstellst du im dritten Schritt eine Vorzeichentabelle, um herauszufinden, wo $f’$ positiv und wo $f’$ negativ ist

Es gilt nämlich für jede Funktion $f$:

• $G_f$ ist auf jedem Intervall, auf dem $f'(x)>0$ gilt, streng monoton wachsend/steigend.
• $G_f$ ist auf jedem Intervall, auf dem $f'(x)<0$ gilt, streng monoton fallend.

Der vorgegebene Funktionsterm ist eine Verkettung aus der Logarithmusfunktion $x\mapsto\ln x$ und der ganzrationalen Funktion $x\mapsto x^2+1$, d. h. zuerst wird $x^2+1$ aus $x$ berechnet und das Ergebnis anschließend in die Logarithmusfunktion eingesetzt. Um eine solche zusammengesetzte Funktion abzuleiten, brauchst du die Kettenregel.
$f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)=\frac1{x^2+1}\cdot 2x=\frac{2x}{x^2+1}$

Jetzt setzt du die eben berechnete Ableitungsfunktion gleich null.
$f'(x)=0\\
\Leftrightarrow \frac{2x}{x^2+1}=0\qquad|\;\text{Zähler null setzen}\\
\Rightarrow 2x=0\\
\Leftrightarrow x = 0$

Tatsächlich ist $f'(0)=\frac{2\cdot0}{0^2+1}=\frac01=0$, d. h. wir haben die einzige Nullstelle von $f’$ gefunden.

In schritt 2 haben wir berechnet, dass die Ableitungsfunktion eine Nullstelle bei $x=0$ hat. Um jetzt das Monotonieverhalten der Funktion zu bestimmen, erstellst du im dritten Schritt eine Vorzeichentabelle. Nach Schritt 2 ist die Ableitungsfunktion $f’$ nur an der Stelle $x=0$ null, ansonsten also immer positiv oder negativ. Verdeutliche dir jetzt, wo $f’$ positiv ist und wo negativ, damit du Schlussfolgerungen für den Verlauf des Graphen von $f$ ziehen kannst.

In unserem Fall ist $f'(x)=\frac{2x}{x^2+1}$, wobei der Nenner immer positiv ist. Für $x<0$ ist also der Zähler negativ und der Nenner positiv, also $f'(x)<0$. Für $x>0$ ist also der Zähler positiv und der Nenner positiv, also $f'(x)>0$. Somit ergibt sich folgende Tabelle:

Vergleichst du jetzt den in der Tabelle grob skizzierten Graphen von $f$ mit dem tatsächlichen Aussehen, so erkennst du den Steigungsverlauf und den Tiefpunkt bei $x=0$ wieder:

Für das Monotonieverhalten der Funktion können wir also festhalten, dass die Funktion $f$ für $x<0$ streng monoton fallend und für $x>0$ streng monoton wachsend ist.