Normalenvektor über Skalarprodukt berechnen

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Normalenvektor über Skalarprodukt berechnen

Einen Normalenvektor zu bestimmen ist die Grundlage für alle Abstands- und Winkelberechnungen mit Ebenen. Hier lernst du die elementare Methode mit Hilfe des Skalarproduktes kennen.

Dazu eine Aufgabe:
Eine Dachschräge liege in der Ebene $E:\vec{X}=\left(\begin{array}{c}0\\0\\10\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right)+\mu\left(\begin{array}{c}-1{,}5\\0\\1\end{array}\right),\lambda\in\mathbb{R},\mu\in\mathbb{R}$. Eine Antenne soll so befestigt werden, dass sie senkrecht auf der Dachschräge steht. \\In welche Richtung zeigt die Antenne?

Gegeben ist die Parametergleichung einer Ebene und gesucht ist ein sogenannter Normalenvektor der Ebene, d. h. ein Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht und somit die Richtung der Antenne angibt. Die Bestimmung eines Normalenvektors ist der erste Schritt zur Ermittlung einer Koordinatengleichung aus einer Parametergleichung, die sehr häufig im Abitur verlangt wird. Ferner werden Normalenvektoren für sämtliche Winkelberechnungen mit Ebenen gebraucht.
Es gibt zwei gängige Methoden, Normalenvektoren zu bestimmen: entweder durch Lösen eines linearen Gleichungssystems oder mit dem Kreuzprodukt (Vektorprodukt). Hier wird die erste (etwas elementarere) Methode angewendet, die die schnellere Alternative, die aber nicht in jedem Bundesland behandelt wird, erklären wir im Video Normalenvektor über Kreuzprodukt.

Schritt 1: Gleichungssystem mittels Skalarprodukt aufstellen
Den gesuchten Normalenvektor nennen wir $\vec{n}$, dessen Koordinaten $n_1$, $n_2$ und $n_3$. Die Bedingung, dass $\vec{n}$ auf der Ebene $E$ senkrecht steht, ist gleichbedeutend damit, dass $\vec{n}$ auf den beiden Richtungsvektoren $\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-1{,}5\\0\\1\end{array}\right)$ senkrecht steht. Das wiederum ist gleichbedeutend damit, dass das Skalarprodukt von $\vec{n}$ mit jedem der beiden Richtungsvektoren null ergibt. Wir erhalten ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 3 Unbekannten.
$\begin{align}
I: & & &&&n_2& && &= & &0\\
II:&-1{,}5&n_1&&& &+&&n_3 &= & &0
\end{align}$

Schritt 2: Eine Lösung des Gleichungssystems finden
Das im ersten Schritt aufgestellte Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Für diese Aufgabe brauchen wir nur eine (nicht-triviale, d. h. nicht $\vec{n}=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)$, denn dieser gibt uns keine Richtung an) Lösung. Deswegen können wir eine der drei Unbekannten willkürlich (den wert 0 sollten wir meiden, um keine triviale Lösung zu erhalten) festlegen.

Tipp: Stehen für eine willkürliche Festlegung mehrere Unbekannte zur Auswahl, so wähle am besten diejenige mit dem betragsmäßig größten Koeffizienten in der Gleichung und setze
sie gleich 1; in unserem Fall legen wir $n_1=1$ fest, weil $n_2$ durch Gleichung I schon bestimmt ist. Mit dieser Festlegung können wir $n_3$ bestimmen und erhalten mit $\vec{n}=\left(\begin{array}{c}1\\0\\1{,}5\end{array}\right)$ einen Normalenvektor der Ebene $E$, der die Richtung der Antenne angibt.

 

 
 
 
 

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