Nullstellen berechnen (Regelfall)

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Maria01 am 14.01.2019

Gut erklärt, hab's verstanden!

 

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Nullstellen berechnen (Regelfall)

Was sind Nullstellen?

Nullstellen berechnen ist eine Aufgabe, die in jeder Abiturprüfung drankommt und eine grundlegende Kompetenz in der Kurvendiskussion. Generell kommen vier Typen von Funktionen vor, deren Nullstellen berechnet werden müssen:

Als Nullstellen bezeichnet man die Schnittstellen eines Graphen mit der $x$-Achse. Voraussetzung hierfür ist, das der Funktionswert/die $y$-Koordinate an dieser Stelle gleich null ist. Beim Nullstellen berechnen macht man sich diese Eigenschaft zunutze, indem man den Funktionsterm gleich null setzt.

In diesem Video zum Thema Nullstellen berechnen werden die drei ersten, einfacheren Fälle, behandelt. Wie du die Nullstellen der Sinusfunktion bestimmst, erfährst du in einem eigenen Video.

Methoden zum Nullstellen berechnen

Die Vorgehensweise bei diesen drei ersten Fällen hängt dabei vom Funktionstyp ab. Bei einer ganzrationalen Funktion vom Typ 2 (quadratische Funktion) kannst du die Nullstellen bestimmen, indem du die quadratische Lösungsformel anwendest. Bei einer ganzrationalen Funktion 3. Grades wird eine Nullstelle geraten, dann wird die Funktion durch Polynomdivision auf eine Funktion 2. Grades zurückgeführt. Im Falle einer Logrithmusfunktion setzt du das Argument des Logarithmus gleich 1. Im Falle eines Bruchs, das heißt, einer gebrochen rationalen Funktion, setzt du den Zähler gleich null. Gleichzeitig musst du sicherstellen, dass der Nenner nicht auch null wird. Denn die bekannte Regel aus der Mittelstufe besagt, dass der Nenner eines Bruches nie null werden darf.

Nullstellen berechnen gehört zum Basiswissen der Kurvendiskussion, deshalb solltest du die Methoden zur Nullstellenbestimmung sicher anwenden können. Daher hier eine Übersicht:

Funktionstyp Methode zur Nullstellenberechnung
ganzrationale Funktion Grad 2: quadratische Lösungsformel
Grad 3: eine Nullstelle erraten (z.B. $x=1$), dann durch Polynomdivision auf Grad 2 zurückführen
Logarithmusfunktion Argument gleich 1 setzen, z.B. $\ln(x^2+1)=0$ ⇔ $x^2+1=1$ ⇔ $x=0$
Bruch Zähler gleich null setzen und sicherstellen, dass der Zähler nicht auch null wird

Beispielaufgabe

Die Funktion $f:\mathbb{R}\setminus\{-5;5\}\to\mathbb{R}$ sei durch $\displaystyle f(x)=\frac{(x^2-2x) e^x}{x^2-25}$ gegeben. Bestimme die Nullstellen von $f$.

Schritt 1: Funktionsterm gleich null setzen

Der vorgegebene Term $\displaystyle f(x)=\frac{(x^2-2x) e^x}{x^2-25}$ ist ein Bruch. Ein Bruch ist genau dann null, wenn der Zahler null ist. Aber der Nenner darf natürlich nicht null werden.
Also gilt
$(x^2-2x) e^x=0$
⇔ $(x^2-2x) e^x$ und $x^2-25\neq 0$.

Ein Produkt wird genau dann null, wenn einer der Faktoren null wird. Das vorliegende Produkt $(x^2-2x) e^x$ hat die Faktoren $x^2 – 2x$ und $e^x$. Weil aber $e^x > 0$ für alle für alle $x\in\mathbb{R}$ gilt, kann nur der erste Faktor null werden. Also gilt
$(x^2 – 2x)e^x = 0$
⇔ $x^2 – 2x =0 \quad$ | $x$ ausklammern
⇔$x(x-2)= 0$

Das Produkt $x(x-2)$ wird genau dann null, wenn entweder $x=0$ oder $x=2$ ist.

Schritt 2: Nullstellen prüfen

Die Zahlen, die du im ersten Schritt als mögliche Kandidaten für Nullstellen ausfindig gemacht hast, überprüfst du jetzt im zweiten Schritt. Manchmal ist aus der Herleitung in Schritt 1 auch schon klar, dass die dort erhaltenen Zahlen tatsächlich Nullstellen der Funktion sind. Nämlich dann, wenn in der Herleitung nur Äquivalenzumformungen vorgenommen wurden
Nur in zwei Fällen musst du noch einen zweiten Schritt ausführen, indem die Zahlen aus Schritt 1 einzeln geprüft werden:

  1. Wenn du in Schritt 1 quadriert hast (d. h. bei einer Gleichung beide Seiten hoch 2 genommen hast; das passiert immer dann, wenn Wurzelterme im Spiel sind). In diesem Fall musst du die Kandidaten für die Nullstellen einzeln in den Funktionsterm einsetzen und prüfen, ob sich der Wert null ergibt.
  2. Wenn die Ausgangsfunktion nicht auf ganz $\mathbb{R}$ definiert ist. Also typischerweise bei Brüchen, Wurzeln und Logarithmen. In diesem Fall prüfst du für jede potentielle Nullstelle, ob er im Definitionsbereich liegt.

Bei dieser Aufgabe liegt ein Bruch vor, bei dem wir prüfen müssen, ob die Zahlen, die wir in Schritt 1 ermittelt haben, auch im Definitionsbereich der Funktion liegen. Der wurde in der Aufgabenstellung mit $\mathbb{R}\setminus\{-5;5\}$ angegeben, was bedeutet, dass wir $0$ und $2$ als Nullstellen der Funktion angeben können.

Zusatzinfo

Die braunen Kreuze in der folgenden Skizze kennzeichnen die Schnittpunkte des Graphen von $f$ mit der $x$-Achse. Die $x$-Koordinaten dieser Punkte sind genau die Nullstellen der Funktion.

Lösung

Die Nullstellen der Funktion $f$ liegen bei $x=0$ und $x=2$.

 

 
 
 
 

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