Nullstellen der Sinusfunktion bestimmen

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Nullstellen der Sinusfunktion bestimmen

Nullstellen einer periodischen Funktion

Die Nullstellen der Sinusfunktion zu bestimmen ist ein Sonderfall der Nullstellenbestimmung, da die Sinusfunktion zu den periodischen Funktionen gehört und somit unendlich viele Nullstellen hat. Die Nullstellen der normalen Sinusfunktion mit der Funktionsgleichung $y = sin(x)$ liegen bei $x = 0$, $x = \pi$, $x = 2\cdot\pi$ usw, sind also alles ganzzahlige Vielfache der Kreiszahl $\pi$, also $k \cdot \pi$ mit $k \in Z$.

Sind die Nullstellen einer allgemeinen Sinusfunktion gefragt, also einer Funktion, die durch Streckung, Spiegelung oder Verschiebung aus der normalen Sinusfunktion (s. dazu das Video Allgemeine Sinusfunktion: Parameterbestimmung) hervorgeht, wird diese genau dann null, wenn das Argument (also der eingesetzte Term) ein ganzzahliges Vielfaches von $\pi$ ist.

Beispiel-Aufgabe

Berechne alle Nullstellen der auf ganz $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f(x)= 2 sin(\pi \cdot x)$
Lösungsansatz: Argument des Sinus gleich k mal pi setzen

Der Graph der vorgegebenen Funktion Graph längs der $x$-Achse um den Faktor $\pi$ gestaucht und dann um den Faktor 2 in $y$-Richtung gestreckt wurde:

Die Nullstellen dieser Sinusfunktion zu bestimmen, dauert nur 2 Minuten. Bei der Berechnung spielt die 2 im Funktionsterm keine Rolle, du bekommst sie durch Teilen weg:

$2\sin\left(\pi\cdot x\right)=0\quad|\;:2\\
\Leftrightarrow\ \sin\left(\pi\cdot x\right)=0$

Die Sinusfunktion wird genau dann null, wenn das Argument des Sinus ein ganzzahliges Vielfaches von $\pi$ ist, also wenn
$\pi\cdot x=k\cdot\pi\text{ für ein }k\in\mathbb{Z}$

Diese Gleichung musst du nach $x$ auflösen:

$\pi\cdot x=k\cdot\pi\quad|\;:\pi\\
\Leftrightarrow x=k$

Lösung

Die Nullstellen der Funktion $f(x)= 2 sin(\pi \cdot x)$ sind genau die ganzen Zahlen, also $x=k$ für jedes $k\in\mathbb{Z}$.

Tipp:
Die Nullstellen der allgemeinen Cosinusfunktion kannst du nach dem gleichen Schema wie die Nullstellen der Sinusfunktion berechnen; nur dass du hier von den bekannten Nullstellen der normalen Cosinusfunktion ausgehst ($0,5 \cdot \pi, 1,5 \cdot \pi$, usw.).

 

 
 
 
 

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