Oberflächenberechnung bei Prisma und Pyramide

 

Oberflächenberechnung bei Prisma und Pyramide

In diesem Video lernen Sie anhand einer Anwendungsaufgabe, wie Sie die Oberfläche von Prisma und Pyramide berechnen. Es sollen die Oberflächen zweier einfacher Körper verglichen werden,
nämlich die eines Prismas und die einer Pyramide. In beiden Fällen besteht die Oberfläche aus einfachen Vielecken, für die Flächenformeln als bekannt vorausgesetzt werden, nämlich Dreiecke
und Rechtecke. Eingebettet ist die Aufgabe in folgenden Sachzusammenhang: Ein Schokoladenhersteller bekommt zwei Vorschläge für eine neue Verpackung und möchte sich für die Verpackung entscheiden, bei der weniger Material verbraucht wird. Bei dem Prisma handelt es sich um gerades Prisma mit einem rechtwinkligen Dreieck als Grundfläche. Die kürzeren Seiten der Grundfläche sind $2 \, cm$ und $3\, cm$ lang und das Prisma ist $5 {,}9 \, cm$ hoch. Die zweite Verpackungsvariante ist eine gerade Pyramide mit rechteckiger Grundfläche mit de Seitenlänge $3 \, cm$. Die Höhe beträgt $6{,}1 \, cm$. Beide Verpackungen haben das gleiche Volumen.

Um die Aufgabe zu lösen, muss man also zuerst die einzelnen Teilflächen ausrechnen und für jeden Körper zusammenzählen, dann kann man vergleichen und sehen, welcher Körper die kleinere
Oberfläche hat.

Das Dreiecksprisma hat drei rechteckige Seitenflächen vorne, rechts und hinten. Den Flächeninhalt eines Rechtecks wird mit der Formel $A_{Rechteck}= a\cdot b$ berechnet. Die Daten zur Berechnung der Flächeninhalte liegen vor, sehen Sie sich dazu am besten den Lösungscoach an. Nach der Berechnung der drei Rechtecke, die die Mantelfläche ausmachen, müssen jetzt noch die beiden Deckflächen, also die Flächeninhalte der rechtwinkligen Dreiecke berechnet werden. Grund- und Deckfläche haben den gleichen Flächeninhalt.
Um die Oberfläche des Prismas zu berechnen, werden die Mantel- und Grundflächen addiert:
$A_{Prisma} = 2 \cdot A_{Grundfläche} + A_{Vorderseite} + A_{rechts} + A_{Rückseite}$
Wir erhalten einen Flächeninhalt von $56{,}74\, cm^2$

Für die Oberfläche der Pyramide sehen wir uns zunächst die Bestandteile der Pyramidenoberfläche an. Sie hat eine quadratische Grundfläche mit der Seitenlänge $3\,cm$, also mit $9 \, cm^2$ Flächeninhalt. Die vier Seitenflächen bestehen aus vier dreieckigen Seitenflächen. Sie haben dieselben Seitenlängen und dieselben Innenwinkel und damit auch den gleichen Flächeninhalt. Dieser können mit der Flächeninhaltsformel für allgemeine Dreiecke berechnet werden.
Die Oberfläche der Pyramide berechnet sich dann durch Addition der Teilflächen:
$A_{Pyramide}= A_{Quadrat} + 4\cdot A_{Seitenfläche}$
Wir erhalten einen Flächeninhalt von $45{,6} cm^2$

Damit hat die pyramidenförmige Verpackung eine kleinere Oberfläche als das Prisma mit dem gleichen Rauminhalt.

 

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