Orthogonale Geraden prüfen (über Skalarprodukt)

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Orthogonale Geraden prüfen (über Skalarprodukt)

Orthogonale Geraden haben in der Geometrie eine besondere Bedeutung und die grundlegende Technik, mittels Skalarprodukt zu prüfen, ob zwei Geraden senkrecht aufeinander stehen, bzw. ob zwei Vektoren orthogonal sind, wird in so gut wie jeder Abiturprüfung benötigt. Meistens werden solche Aufgaben in einen Sachzusammenhang eingebettet, z. B. musst du prüfen, ob vier vorgegebene Punkte die Ecken eines Rechtecks bilden. Für einen Winkel, den zwei Geraden einschließen, sind nur die jeweiligen Richtungen relevant. An jeder Ecke treffen sich zwei Kanten, die man als Abschnitte zweier geraden betrachten kann. Und die Frage, ob an der Ecke ein rechter Winkel vorliegt, ist gleichbedeutend mit der Frage, ob die zugehörigen Geraden orthogonal sind.

Für den Winkel, den zwei geraden $g$ und $h$ einschließen, sind nur die jeweiligen Richtungen relevant. Der Schnittwinkel dieser Geraden ist nämlich nichts anderes als der Winkel zwischen den zugehörigen Richtungsvektoren.

Sehen wir uns eine Aufgabe zum Thema orthogonale Geraden (ohne Sachzusammenhang) an:
Gegeben sind die beiden Geraden $g$ und $h$ durch
$g: \overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right) + \lambda \cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ -1\end{array}\right), \lambda \in \mathbb{R}$ und
$h: \overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}3\\0\\0\end{array}\right) + \mu \cdot \left(\begin{array}{c}1\\1\\ 3\end{array}\right), \mu \in \mathbb{R}$
Prüfe, ob es sich bei $g$ und $h$ um orthogonale Geraden handelt.

Strategie zur Lösung der Aufgabe: Skalarprodukt der Richtungsvektoren berechnen

Die Parametergleichung einer Gerade besteht aus einem Stützvektor, einem Laufparameter und einem Richtungsvektor.
Für diese Aufgabe benötigen wir die Richtungsvektoren von $g$ und $h$, also
$\overrightarrow{v}_g=\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\-1\end{array}\right)$ und
$\overrightarrow{v}_h=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\3\end{array}\right)$

Die Geraden stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn die zugehörigen Richtungsvektoren aufeinander senkrecht stehen. Das ist wiederum genau dann der Fall, wenn das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren null beträgt. In diesem Fall ergibt sich:

$\overrightarrow{v}_g \circ\overrightarrow{v}_h=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\3\end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\3\end{array}\right)
= 3\cdot 1 + 0 \cdot 1 +(-1) \cdot 3 =3+0-3= 0$.

Somit handelt es sich bei $g$ und $h$ um orthogonale Geraden.

 

 
 
 
 

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