Parameterform in Koordinatenform umwandeln

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Parameterform in Koordinatenform umwandeln

Die Aufgabe „Umwandlung Parameterform in Koordinatenform“ ist ein Klassiker im Abitur und wird üblicherweise mit Abstandsbestimmungen oder Winkelbestimmungen verbunden (s. dazu zum Beispiel die Videos Abstand Punkt-Ebene oder Schnittwinkel Gerade-Ebene), für die eine Ebene in Koordinatenform erforderlich ist. Der wesentliche Schritt dabei ist die Bestimmung eines Normalenvektors der Ebene. Einen solchen kannst du entweder mit dem Skalarprodukt (s. Video Normalenvektor über Skalarprodukt) oder mit dem Kreuzprodukt / Vektorprodukt (Normalenvektor über Kreuzprodukt) bestimmen.

Gegeben ist eine Ebene $E$ durch
$E:\vec{X}=\left(\begin{array}{c}3\\3\\3\end{array}\right)+\lambda\cdot\left(\begin{array}{c}-1\\0\\1\end{array}\right)+\mu\cdot\left(\begin{array}{c}0\\2\\0\end{array}\right),\lambda\in\mathbb{R},\mu\in\mathbb{R}$.
Bestimme eine Koordinatengleichung für $E$.

Schritt 1: Normalenvektor der Ebene aus den Richtungsvektoren bestimmen
Der erste Schritt der Umwandlung einer Parameterform in Koordinatenform besteht aus der Bestimmung eines Richtungsvektors. Eine Koordinatengleichung einer Ebene in $\mathbb{R}^3$ hat die Form $ax + by + cz = d$
für geeignete Konstanten $a$, $b$, $c$ und $d$ aus $\mathbb{R}$. Dabei sind die ersten drei Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ die Komponenten eines Normalenvektors $\vec{n}=\left(\begin{array}{c}n_1\\ n_2\\n_3\end{array}\right)$ der Ebene. Einen solchen Normalenvektor werden wir also als erstes bestimmen. Dabei genügt es, sicherzustellen, dass $\vec{n}$ auf den beiden Richtungsvektoren (auch Spannvektoren) der Parametergleichung senkrecht steht. Da es zu beiden Varianten ein ausführliches Erklärvideo mit Lösungscoach gibt, werden hier die Lösungsschritte nicht einzeln aufgeführt – schaut euch im Zweifel die entsprechenden Videos an.
Bei den Methoden liefern den Normalenvektor $\vec{n}=\left(\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right)$.

Schritt 2: Aufpunkt einsetzen
Im zweiten Schritt bei der Umwandlung Parameterform in Koordinatenform werden die Komponenten des Normalenvektors $\vec{n}=\left(\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right)$ für die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ in die allgemeine Koordinatengleichung eingesetzt.
$1\cdot x + 0\cdot y + 1\cdot z = d$ → $x + z = d$.
Um die Unbekannte $d$ zu bestimmen, müssen wir die Koordinaten eines Punktes auf der Ebene in diese Gleichung einsetzen. Als solcher bietet sich der Aufpunkt $P(3|3|3)$ an, dessen Ortsvektor $\overrightarrow{OP}=\left(\begin{array}{c}3\\3\\3\end{array}\right)$ in der Ebene in Parameterform vorkommt. Einsetzen von $x=3$, $y=3$ und $z=3$ liefert $3+3 = d$ → $d=6$.

Damit verschwindet auch die letzte Unbekannte d aus der blauen Gleichung und wir erhalten die fertige Koordinatenform: $E: x + z = 6$

 

 
 
 
 

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