Die Regel von de l’Hospital anwenden

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Die Regel von de l’Hospital anwenden

Fälle für die Regel von de l'Hospital

Die Regel von de l’Hospital hilft dann bei der Grenzwertbestimmung weiter, wenn bei einem Bruch Zähler und Nenner beide gegen unendlich streben, sodass die üblichen Rechenregeln (s. hierzu das Video Grenzwerte berechnen) nicht anwendbar sind. Dafür gibt es die Regel von de l’Hospital.
Regel von de l'Hospital

Ist $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$ mit $\displaystyle\lim_{x\to\infty}g(x)=\pm\infty$ und $\displaystyle\lim_{x\to\infty}h(x)=\pm\infty$, so gilt:

$\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}\frac{g'(x)}{h'(x)}$

(sofern die Ableitungen $g’$ und $h’$ existieren). Diese Regel gilt genauso für Grenzwerte gegen null wie für irgendeine andere reelle Zahl. Sie ist auch anwendbar, wenn Zähler und Nenner beide gegen null gehen.

Beispielaufgabe

Gegeben ist die Funktion $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},x\mapsto\frac{x^2-x+1}{x^2+1}$.
Untersuche das Verhalten von $f$ im Unendlichen.
Schritt 1: Grenzwerte von Zähler und Nenner bestimmen

Um die vorgegebene Aufgabe zu lösen, musst du im ersten Schritt die Grenzwerte von Zähler und Nenner bestimmen.
Der Zähler ist $g(x)= x^2 -x +1$ mit $\displaystyle \lim_{x\to\infty}g(x)=\lim_{x\to\infty}x^2-x+1.$
Wenn wir für $x$ beliebig große Werte einsetzen, werden auch die $y$-Werte unendlich groß.

Auch für $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}g(x)=\lim_{x\to -\infty}x^2-x+1$ erhalten wir unendlich große Werte. Also strebt der Zähler für unendlich große und unendlich kleine $x$-Werte gegen unendlich.
Der Nenner ist $h(x)=x^2+1$ und es gilt $\displaystyle \lim_{x\to\pm\infty}h(x)=\lim_{x\to\pm\infty}h(x)=\lim_{x\to\pm\infty}x^2+1 \lim_{x\to\pm\infty}x^2+1 = \infty$

Schritt 2: Regel von de l'Hospital anwenden

Da Zähler und Nenner des Bruches beide gegen unendlich streben, wenden wir die Regeln von de l’Hospital an. Dazu benötigen wir zunächst die 1. Ableitung. Nach der Ableitungsregel für Potenzen gilt für den Zähler $g'(x)=2x-1$ und für den Nenner $h'(x)=2x$.

Also setzen wir diese Ergebnisse in die Formel ein und erhalten $\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2x-1}{2x}$.

Ein Blick auf das Ergebnis sagt uns, dass sowohl Zähler als auch Nenner wieder gegen unendlich streben. Somit bleibt uns nichts anderes übrig, als erneut die Regel von de l’Hospital anzuwenden.
Wir leiten also erneut ab und erhalten $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to -\infty}f(x)=1$.
Das heißt, der Funktionsgraph nähert sich im Unendlichen der Geraden mit der Gleichung $y=1$ an.

Lösung

Es gilt $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to -\infty}f(x)=1$.

Tipp: Die Regel von de l’Hospital kann auch nützlich sein, um Grenzwerte von $e$-Funktionen zu berechnen, die auf den ersten Blick keine Brüche sind. Ein typisches Beispiel ist $\displaystyle\lim_{x\to\infty}xe^{-x}$, wo einerseits der Faktor $x$ gegen unendlich, andererseits aber $e^{-x}$ gegen null strebt. Diesen Term kann man als Bruch schreiben und die Regel von de l’Hospital anwenden.

 

 
 
 
 

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