Schnittgerade zweier Ebenen bestimmen

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Schnittgerade zweier Ebenen bestimmen

In diesem Video zum Thema Schnittmengen erklären wir dir den schnellsten Weg zur Bestimmung der Schnittgerade zweier Ebenen. Nämlich für den Fall, dass mindestens eine der Ebenen in Parameterform vorliegt. Die Bestimmung der Schnittgerade zweier Ebenen ist am einfachsten, wenn eine der Ebenen in Koordinatenform und die andere in Parameterform vorgegeben ist, so wie bei dieser Beispielaufgabe. Wenn beide Ebenen in Parameterform angegeben sind, dann solltest du eine der beiden Ebenen zunächst in eine Koordinatengleichung umzuwandeln. Siehe dazu das Video Paramterform in Koordinatenform umwandeln und den dazugehörigen Lösungscoach.

Da dies bei unserer Aufgabe nicht der Fall ist, wenden wir hier zur Ermittlung der Schnittgerade zweier Ebenen ein direktes Einsetzungsverfahren an. Das bedeutet, dass wir im ersten Schritt die Parametergleichung in die Koordinatengleichung einsetzen. Die Parametergleichung teilt sich in drei Teilgleichungen auf – eine für jede Koordinate. Danach wird jede dieser drei Teilgleichungen in die Koordinatengleichung eingesetzt. Im zweiten Schritt drückst du einen Parameter der Parametergleichung durch einen anderen aus. Dazu löst du nach dem Parameter mit dem kleineren Koeffizienten auf. Diesen neuen Ausdruck setzt du erneut in die Parametergleichung ein. Auflösen, Vereinfachen und Umformen liefert schließlich die Gleichung der gesuchten Schnittgerade zweier Ebenen.

Aufgabe

Sehen wir uns hierzu eine Beispielaufgaben an: Gegeben sind die Ebenen $E$ und $F$ durch $E: 3x-2y + z= 1$ und $F:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\-1\end{array}\right) + \lambda \cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\-1\end{array}\right) + \mu \cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\1\end{array}\right)$ Bestimme eine Gleichung der Schnittgerade von $E$ und $F$.

Schritt 1: Parametergleichung in Koordinatengleichung einesetzen

Die Parametergleichung für $F$ teilt sich in drei Teilgleichungen auf – eine für jede Koordinate:
$x=0+\lambda \cdot 1 n+ \mu \cdot (-1)$
$y=1 + \lambda \cdot 0 + \mu \cdot 1$
$z=-1 + \lambda \cdot (-1) + \mu \cdot 1$

$x=\lambda -\mu$
$y=1+\mu$
$z=-1 – \lambda + \mu$

Diese drei Teilgleichungen werden jetzt in die Koordinatengleichung von $E$ eingesetzt. Aus $3x -2y + z = 1$ wird somit
$3(\lambda-\mu)-2(1+\mu)+(-1-\lambda+\mu)=1$ ⇔ $\lambda -2\mu = 2$

Schritt 2: In der Parametergleichung einen Parameter durch den anderen ausdrücken

Die letzte Gleichung aus Schritt 1 erlaubt es uns, einen der beiden Parameter $\lambda$ und $\mu$ durch den anderen auszudrücken. Wir lösen dazu $\lambda – 2\mu=2$ nach dem Parameter mit dem kleineren Koeffizienten auf, also nach $\lambda$:
$\lambda = 2 + 2\mu$
Diesen Ausdruck setzen wir in die Parametergleichung für $F$ ein:
Aus $F:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\-1\end{array}\right) + \lambda \cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\-1\end{array}\right) + \mu \cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\1\end{array}\right)$ wird somit
$\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\-1\end{array}\right) + (2+2\mu) \cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\-1\end{array}\right) + \mu \cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\1\end{array}\right)\\
=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\-3\end{array}\right)+\mu \cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\-1\end{array}\right)$

Lösung: Schnittgerade zweier Ebenen

Die gesuchte Schnittgerade $g$ hat somit die Gleichung:
$g: \overrightarrow{X}\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\-3\end{array}\right)+\mu \cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\-1\end{array}\right)$

 

 
 
 
 

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