Schnittpunkt zweier Geraden berechnen

Wie du den Schnittpunkt zweier Geraden im dreidimensionalen Raum bestimmen kannst, ist Thema dieses Videos. Diese Aufgabe ist eine gängige Anwendung linearer Gleichungssysteme. Den Schnittpunkt zweier Geraden berechnest du in drei Schritten: Du setzt die rechten Seiten der Geradengleichungen gleich, stellst daraus ein lineares Gleichungssystem für die beiden Parameter auf, bestimmst einen dieser Parameter und setzt ihn anschließend in die zugehörige Geradengleichung ein.

Sehen wir uns dazu eine Beispielaufgabe an:
Gegeben seinen die beiden Geraden $g$ und $h$ durch
$g: \overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}5\\1\\ 3\end{array}\right)+ \lambda \cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\1\end{array}\right), \lambda \in \mathbb{R}$
und
$\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}7\\4\\ 4\end{array}\right)+ \mu \cdot \left(\begin{array}{c}1\ \\1\\0\end{array}\right), \mu \in \mathbb{R}$.
In welchem Punkt schneiden sich $g$ und $h$?

Die Lagebeziehung wird anschaulich im Lösungscoach dargestellt. Hier findest du eine interaktive 3D-Grafik, die den Sachverhalt verdeutlicht.

Um den Schnittpunt zweier gerade zu bestimmen, setzt du die rechten Seiten der beiden Geradengleichungen gleich, erstellst daraus ein lineares Gleichungssystem mit 2 Unbekannten für die beiden Parameter $\lambda$ und $\mu$ auf uns bestimmst damit die beiden Parameter. Das Einsetzen des berechneten Parameters in die zu gehörige Geradengleichung liefert dann die Koordinaten des Schnittpunkts.

Schritt 1: Lineares Gleichungssystem aufstellen
Da der Schnittpunkt $S$ auf $g$ liegt, gibt es ein $\lambda \in \mathbb{R}$, so dass $\overrightarrow{OS}=\left(\begin{array}{c}5\\1\\ 3\end{array}\right)+ \lambda \cdot \left(\begin{array}{c}1\ \\2\\1\end{array}\right)$ gilt. Da $S$ auch auf $h$ liegt, gibt es ein $\mu \in \mathbb{R}$, so dass $\overrightarrow{OS}=\left(\begin{array}{c}7\\4\\ 4\end{array}\right)+ \mu \cdot \left(\begin{array}{c}1\ \\1\\0\end{array}\right)$ gilt. Somit folgt $\left(\begin{array}{c}5\\1\\ 3\end{array}\right)+ \lambda \cdot \left(\begin{array}{c}1\ \\2\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}7\\4\\ 4\end{array}\right)+ \mu \cdot \left(\begin{array}{c}1\ \\1\\0\end{array}\right)$.
Daraus ergibt sich das folgende lineare Gleichungssystem mit 3 Gleichungen für 2 Unbekannte:

$I: 1\lambda+1\mu= 2\\
II: 2\lambda+1\mu= 3\\
III: 1\lambda+0\mu= 1$

oder vereinfacht:
$I: \lambda+\mu= 2\\
II: 2\lambda+\mu= 3\\
III: \lambda = 1$

Schritt 2: Lineares Gleichungssystem (teilweise) lösen.

Wir brauchen keine vollständige Lösung des Gleichungssystems, sondern nur die Lösung für eine der beiden Unbekannten $\lambda$ oder $\mu$. In diesem Fall brauchen wir kein Lösungsverfahren
anzusetzen, weil die dritte Gleichung schon direkt einen der Parameter vorgibt: $\lambda = 1$

Schritt 3: Parameter in Geradengleichung einsetzen
Der letzte Schritt, um den Schnittpunkt zweier Geraden zu berechnen, ist, den in Schritt 2 bestimmen Parameter $\lambda = 1$ in die zugehörige Geradengleichung einzusetzen, also in $\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}5\\1\\ 3\end{array}\right)+ \lambda \cdot \left(\begin{array}{c}1\ \\2\\1\end{array}\right)$.

Daraus ergibt sich $\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}5\\1\\ 3\end{array}\right)+ 1 \cdot \left(\begin{array}{c}1\ \\2\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\3\\4 \end{array}\right)$.
Das ist der Ortsvektor des gesuchten Schnittpunktes $S$, d. h. es handelt sich um $S(6|3|4)$.

Das heißt, die Geraden $g$ ud $h$ schneiden sich im Punkt $S(6|3|4)$.