Schnittpunkte zweier Graphen berechnen

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pia__03 am 09.09.2018

Yay, habs glaub gecheckt! ???

Liana am 31.08.2018

Einfach und verständlich erklärt. Danke.

 

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Schnittpunkte zweier Graphen berechnen

Schnittstellen und Schnittpunkte

In diesem Mathe-Video aus dem Bereich der Kurvendiskussion lernst du, wie man Schnittpunkte berechnet, und zwar die von zwei Funktionsgraphen. Gegeben sind zwei auf ganz $\mathbb{R}$ definierte Funktionen $f=x^2$ und $g=x$. Du sollst bestimmen, in welchen Punkten sich die beiden Funktionsgraphen schneiden. Schnittstellen zweier Graphen muss man in praktisch jeder Abiturprüfung berechnen, oft um danach die Fläche zwischen zwei Graphen zu bestimmen (siehe hierzu zum Beispiel das Video Fläche zwischen zwei Graphen bestimmen).
Aufgabe zum Thema Schnittpunkte zweier Graphen

In welchen Punkten schneiden sich die Graphen der auf $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f$ und $g$ mit $f(x)= x^2 – 2$ und $g(x)=x$?
Lösungsansatz

Wenn wie hier ausdrücklich nach Schnittpunkten gefragt wird, musst du zusätzlich noch die Funktionswerte der beiden Funktionen an den Schnittstellen berechnen. Daher gehst du in zwei Schritten vor: Zunächst bestimmst du die Schnittstellen, das sind die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte. Damit $x$ eine Schnittstelle der Funktionen $f$ und $g$ ist, müssen die Funktionswerte übereinstimmen, d. h. die Bedingung lautet: $f(x)=g(x)$. Du setzt die beiden Funktionsterme also gleich und löst diese Gleichung nach $x$ auf, indem du alle $x$ der Gleichung auf eine Seite bringst. Zur Lösung kannst du bei unserer Aufgabe die quadratische Lösungsformel (auch Mitternachtsformel oder $pq$-Formel genannt) anwenden. Sie liefert dir zwei $x$-Werte, die Schnittstellen der beiden Funktionen sind.

Um jetzt im zweiten Schritt die Schnittpunkte zu erhalten, musst du noch die Funktionswerte von $x$ berechnen. Benutze hierzu am besten den einfacheren der beiden Funktionsterme und setze die im ersten Schritt berechneten $x$-Werte jeweils einmal in den Funktionsterm ein. Dadurch erhältst du die zugehörigen $y$-Werte der Schnittpunkte. Damit hast du alle Informationen bestimmt, die zur Angabe der Schnittpunkte nötig sind.

Schritt 1: Schnittstellen bestimmen

Die Schnittstellen lassen sich durch die folgende Skizze darstellen:

Als erstes berechnest du $x$-Koordinaten. Damit $x$ eine Schnittstelle der Funktionen $f$ und $g$ ist, müssen die Funktionswerte dort übereinstimmen. Das heißt, die Bedingung lautet:
$f(x)=g(x)$.

Setzen wir die in der Aufgabenstellung vorgegebenen Funktionsterme gleich, dann liefert das:
$x^2 – 2 =x$.

Diese Gleichung musst du nach $x$ auflösen. Bringe dazu alle $x$ auf eine Seite der Gleichung:
$x^2 – x-2=0$

Jetzt kannst du die quadratische Lösungsformel anwenden, um die zwei Lösungen zu bestimmen.
Zur Wiederholung: die Lösungsformel für eine quadratische Gleichung der Form
$ax^2 + bx + c = 0$ lautet
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

In unserem Fall ist $a=1$, $b=-1$ und $c=-2$, also lautet die Formel
$x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-2)}}{2\cdot1}
=\frac{1\pm\sqrt{1+8}}{2}
= \frac{1}{2}\pm\frac{3}{2}$

Eine Lösung ergibt sich, indem du im letzten Ausdruck das Plusminus-Zeichen ($\pm$) durch ein Minuszeichen ersetzt:
$x_1=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}=-\frac{2}{2}=-1$

Die zweite Lösung bekommst du mit dem Pluszeichen anstelle von $\pm$:
$x_2=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=-\frac{4}{2}=2$

Folglich sind die Schnittstellen der beiden Funktionen $f$ und $g$ $x_1=-1$ und $x_2=2$.

Schritt 2: Funktionswerte berechnen

An den Stellen $x_1$ und $x_2$ haben $f$ und $g$ jeweils denselben Funktionswert (da es sich ja um Schnittstellen handelt), also kannst du zur Berechnung der Funktionswerte den einfacheren der beiden Funktionsterme benutzen, also in diesem Fall $g(x)=x$ anstelle von $f(x)=x^2-2$. Damit erhältst du

$g(x_1)=x_1=-1$ und $g(x_2)=x_2=2$.

Der erste Schnittpunkt hat damit die $x$-Koordinate $x_1=-1$ und die $y$-Koordinate $g(x_1)=-1$, es handelt sich also um den Punkt $P_1(-1|{-1})$. Der zweite Schnittpunkt hat die $x$-Koordinate $x_2=2$ und die $y$-Koordinate $g(x_2)=2$, es handelt sich also um den Punkt $P_2(2|2)$.

Lösung

Die Graphen der Funktionen $f$ und $g$ schneiden sich in den Punkten $P_1(-1|{-1})$ und $P_2(2|2)$.

 

 
 
 
 

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