Schnittwinkel Gerade Ebene (in Koordinatenform) berechnen

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Schnittwinkel Gerade Ebene (in Koordinatenform) berechnen

Der Aufgabentyp Schnittwinkel Gerade Ebene berechnen kommt häufig im Abitur vor. Er funktioniert ähnlich wie die Berechnung des Schnittwinkels zweier Geraden oder zweier Ebenen.
Schnittwinkel zwischen geometrischen Gebilden wie Geraden oder Ebenen werden üblicherweise auf Winkel zwischen den entsprechenden Richtungs- bzw. Normalenvektoren zurückgeführt. Dabei kommt die Formel für den Winkel zwischen Vektoren zum Einsatz.

Um die Unterschiede klarzustellen, betrachten wir zwei Ebenen mit Normalenvektoren $\overrightarrow{n_1}$ und $\overrightarrow{n_2}$ sowie zwei Geraden mit Richtungsvektoren $\overrightarrow{v_1}$ und $\overrightarrow{v_2}$.
Folgende Übersicht macht die Besonderheit bei der Schnittwinkelberechnung zwischen Gerade und Ebene deutlich:

Schnittwinkel Gerade Gerade Schnittwinkel Ebene Gerade Schnittwinkel Gerade Ebene
$\cos\varphi=\dfrac{\left|\overrightarrow{v_1}\circ\overrightarrow{v_2}\right|}{\left|\overrightarrow{v_1}\right|\cdot\left|\overrightarrow{v_2}\right|}$ $\cos\varphi=\dfrac{\left|\overrightarrow{n_1}\circ\overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|\cdot\left|\overrightarrow{n_2}\right|}$ $\sin\varphi=\dfrac{\left|\overrightarrow{v_1}\circ\overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{v_1}\right|\cdot\left|\overrightarrow{n_2}\right|}$

Besonderheit beim Schnittwinkel Gerade Ebene in Koordinatenform: Er wird nicht über den Kosinus, sondern über den Sinus bestimmt. Im ersten Schritt notierst du den Richtungsvektor der Gerade und den Normalenvektor der Ebene. Im zweiten Schritt kannst du dann den Schnittwinkel Gerade Ebene entweder über den Komplementärwinkel oder über den Sinus bestimmen.
Hierzu eine Beispielaufgabe:
Die Gerade $g$, die durch $g: \overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\2\end{array}\right) + \lambda \cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\3\end{array}\right), \lambda \in \mathbb{R}$
gegeben ist, schneidet die Ebene $E$ mit der Gleichung $x-y-z=2$ unter dem Winkel $\alpha$. Bestimme $\alpha$.

Räumliche Winkelberechnungen werden stets auf den Winkel zwischen Vektoren zurückgeführt. Bei Geraden sind die Richtungsvektoren relevant und bei Ebenen die Normalenvektoren. Der vorgegebene Richtungsvektor der Gerade $g$ ist $\overrightarrow{v_g}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\3\end{array}\right)$.
Einen Normalenvektor der Ebene $E$ kannst du unmittelbar aus der Koordinatengleichung ablesen, er besteht nämlich aus den Koeffizienten der drei Koordinaten $x$, $y$ und $z$, d. h. aus der Gleichung $x-y+z=2$ ergibt sich der Normalenvektor $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\1\end{array}\right)$.

Schritt 2: Formel für den Winkel zwischen Gerade und Ebene anwenden

Wir zeigen dir hier die Methode über den Sinus, die Methode über den Komplementärwinkel findest im Lösungscoach mit anschaulicher 3D-Visualisierung.
$\sin(\alpha)= \frac{\left|\overrightarrow{v_g} \circ \overrightarrow{n}\right|}{\left|\overrightarrow{v_g}\right| \cdot \left|\overrightarrow{n}\right|}\\
\sin(\alpha)= \frac{\left|\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\3\end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c}1\\ -1\\1\end{array}\right)\right|}{\left|\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\3\end{array}\right)\right| \cdot \left|\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\1\end{array}\right)\right|}\\
=\frac{4}{\sqrt{30}}$

⇒ $\alpha=\sin^{-1}\left(\frac{4}{\sqrt{30}}\right)\approx 46{,}911^{\circ}$

Lösung: Die Gerade $g$ schneidet die Ebene $E$ unter einem Winkel von ca. $46,9°$.

 

 
 
 
 

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