Schnittwinkel zweier Ebenen in Koordinatenform bestimmen

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Schnittwinkel zweier Ebenen in Koordinatenform bestimmen

Sich den Schnittwinkel zweier Ebenen genau vorzustellen, mag anschaulich mag es schwierig sein. Deshalb haben wir das ganze in unserem interaktiven Lösungscoach passend zum Video noch einmal anschaulich aufbereitet. Den Schnittwinkel zweier Ebenen in Koordinatenform zu bestimmen, ist kurz und schmerzlos. Du kannst ihn ganz einfach über die Bestimmung des Winkels zwischen den beiden Normalenvektoren der Ebenen berechnen, die du aus den Koordinatengleichungen abliest.

Dazu betrachten wir folgende Beispielaufgabe:
Gegeben seien die Ebenen $E$ und $F$ durch $E: -x+y-z=-1$ und $F: 2x+y-z=-1$.
Bestimme den Neigungswinkel von $F$ gegenüber $E$.

Hier der Lösungsweg, der in zwei kurzen Schritten zum Ziel führt: Die beiden Ebenen schließen mehrere Winkel ein, deren Schenkel von der Schnittlinie aus in je eine der Ebenen hineinragen. Der Schnittwinkel oder Neigungswinkel der Ebenen ist definiert als der kleinste dieser Winkel. Der Trick zur Bestimmung des Schnittwinkels zwischen den zwei Ebenen besteht in der Rückführung auf einen Winkel zwischen zwei Vektoren, nämlich den Normalenvektoren der beiden Ebenen.

Schritt 1: Normalenvektoren der Ebenen notieren
Der Winkel zwischen den Ebenen $E$ und $F$ errechnet mithilfe von Normalenvektoren von $E$ und $F$. Diese kannst du direkt aus den Koordinatengleichungen ablesen:
$E: -x+y-z=-1$ ⇒ $\overrightarrow{n_E}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\-1\end{array}\right)$
$F: 2x+y-z=-1$ ⇒ $\overrightarrow{n_F}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\-1\end{array}\right)$

Schritt 2: Formel für den Winkel zwischen zwei Ebenen anwenden
Die Formel für die Berechnung des Schnittwinkels von $E$ und $F$ ist fast identisch mit der Formel zur Berechnung des Winkel zwischen Vektoren, in unserem Fall zwischen den Normalenvketoren $\overrightarrow{n_E}$ und $\overrightarrow{n_F}$. Der einzige Unterschied zur Berechnung des Winkels wischen zwei Vektoren sind die Betragstriche im Zähler:
$\cos\left(\sphericalangle(E,F)\right)=\frac{\left|\overrightarrow{n_E}\circ\overrightarrow{n_F}\right|}{\left|\overrightarrow{n_E}\right|\cdot\left|\overrightarrow{n_F}\right|}$.

In unserem Fall ergibt sich also:
$\cos\left(\sphericalangle(E,F)\right)=\frac{\left(\begin{array}{c}-1\\1\\-1 \end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\-1\end{array}\right)}{\left|\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\-1\end{array}\right)\right|\cdot\left|\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\-1\end{array}\right)\right|}
=\frac{|(-1)\cdot 2+1\cdot 1+(-1)\cdot(-1)|}{\sqrt{(-1)^2+1^2+(-1)^2}\cdot\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}}\\
=\frac{0}{\sqrt 3\sqrt 6}\\
=0$
⇒ $\sphericalangle\left(\overrightarrow{n_E},\overrightarrow{n_F}\right)=90^{\circ}$

Das bedeutet, der Schnittwinkel dieser Ebenen ist $90^{\circ}$, bzw. Die Ebene $F$ ist gegenüber der Ebene $E$ um $90^{\circ}$ geneigt, d.~h. die beiden Ebenen stehen senkrecht aufeinander.

Der Schnittwinkel zweier Ebenen lässt sich also recht leicht berechnen, wenn beide Ebenen in Koordinatenform gegeben sind. Für die Berechnung des Schnittwinkels zweier Ebenen in Parameterform wird es bald ein eigenes Video geben.

 

 
 
 
 

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