Schnittwinkel zweier Graphen berechnen

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Schnittwinkel zweier Graphen berechnen

Aufgabe zum Thema Schnittwinkel

Wenn du die Berechnung von Steigungswinkeln schon im Griff hast, dann kannst du hier lernen, wie man den Schnittwinkel zweier beliebiger Funktionsgraphen berechnet.
Dazu ein Aufgabe:
Unter welchem Winkel schneiden sich die Graphen der Funktionen $f$ und $g$ mit $f(x)=0{,}2x^2+1{,}8$ und $g(x)=4x-2$ an der Stelle $x=1$?
Veranschaulichung und Lösungsansatz

Gesucht ist der Winkel, der in der folgenden Abbildung mit $\alpha$ bezeichnet ist:

Den Schnittwinkel zweier Graphen kannst du entweder mithilfe der Formel für den Schnittwinkel zweier Graphen berechnen. Alternativ berechnest du die Steigungswinkel beider Graphen im angegebenen Punkt und ziehst den einen vom anderen ab.

Schritt 1: Steigungen berechnen

Um Winkel zwischen Graphen zu berechnen, braucht man immer zuerst die Steigungen an der Schnittstelle. Dazu bildest du die 1. Ableitung.
Bei den beiden Graphen handelt es sich um eine Parabel und um eine Gerade.

Ableitung der 1. Funktion (rote Parabel):
$f(x)=0{,}2x^2+1{,}8$ → $f'(x)=0{,}4x$
Steigung der 1. Funktion an der Stelle $x=1$:
$m_1=f'(1)=0{,}4\cdot1=0{,}4$

Ableitung der 2. Funktion (blaue Gerade)
$g(x)=4x-2$ → $g'(x)=4$

Steigung der 2. Funktion an der Stelle $X=1$
$m_2=g'(1)=4$

[accordion title="Schritt 2: Formel für den Schnittwinkel zweier Graphen anwenden"]
Der gesuchte Winkel $\alpha$ hängt mit den eben berechneten Steigungen $m_1$ und $m_2$ folgendermaßen zusammen:
$\tan\alpha=\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right|$

Tipp:
Berechne zuerst den Nenner des Bruches auf der rechten Seite der $1+m_1m_2$. Wenn dieser null wird, dann beträgt der Schnittwinkel $90^{\circ}$. Das musst du dir merken, denn in diesem Sonderfall ist die Formel nicht anwendbar, weil man nicht durch null teilen kann.

$\tan\alpha=\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right| \\
= \left|\frac{0,4-4}{2,6}\right|\\
= \left|\frac{-3,6}{2,6}\right|\\
= \frac{36}{26}\\
= \frac{18}{13}$

Lösung

Somit ist $\alpha=\tan^{-1}\left(\frac{18}{13}\right)\approx54{,}16^{\circ}$
Alternative über die Differenz der Steigungswinkel

Wenn dir die Formel für den Schnittwinkel von Graphen in der Prüfung nicht mehr einfällt, dann kannst du den gesuchten Winkel auch folgendermaßen bestimmen:
du berechnest zuerst den Steigungswinkel $\alpha_1$ der ersten Funktion an der Stelle $x=1$, dann entsprechend den Steigungswinkel $\alpha_2$ der 2. Funktion.
Anscchließend ziehst den kleineren Winkel vom größeren ab. Hier eine Skizze dazu:

In diesem Fall ergibt sich (mit den Ergebnissen $m_1=0{,}4$ und $m_2=4$ aus Schritt 1):

$\alpha_1=\tan^{-1}(m_1)=\tan^{-1}(0{,}4)\approx21{,}8^{\circ}$

und

$\alpha_2=\tan^{-1}(m_2)=\tan^{-1}(4)\approx75{,}96^{\circ}$.

 

 
 
 
 

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