Skalarprodukt zweier Vektoren berechnen

Das Skalarprodukt ist eine mathematische Verknüpfung, die zwei Vektoren eine Zahl (Skalar) zuordnet. Es ist nichts anderes als die Multiplikation zweier Vektoren und ergibt eine reelle Zahl. Es hat in der Geometrie eine zentrale Bedeutung, denn es stellt die Grundlage für alle räumlichen Winkelberechnungen dar. Räumliche Winkel werden nicht nur über das Skalarprodukt berechnet, sondern häufig auch mit Hilfe des Skalarprodukts definiert. Zudem wird es verwendet, um zu prüfen, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Dies ist der Fall, wenn ihr Skalarprodukt gleich null ist. Mit dieser Methode kannst du auch prüfen, ob es sich bei zwei Geraden um senkrechte Geraden handelt.
Man benutzt das Skalarprodukt außerdem, um zu zwei Vektoren einen Normalenvektor zu bestimmen. Diese elementare Methode ist auch die Basis für alle Abstandsberechnungen und Winkelberechnungen mit Ebenen. Wie du siehst, kommst du an der Berechnung des Skalarprodukts im Bereich der dreidimensionalen Geometrie der Oberstufe nicht vorbei, deshalb solltest du dir die zugehörige Formel sehr gut merken.
Das Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$ multipliziert drei Größen miteinander, nämlich 1. die Länge von $\vec{v}$ (d.~h. $|\vec{v}|$), 2. die Länge von $\vec{w}$ (d.~h. $|\vec{w}|$) und 3. den Kosinus des Zwischenwinkels $\alpha$ (d.~h. $\cos(\alpha)$). Es gilt somit $\vec{v}\circ\vec{w}=|\vec{v}|\cdot|\vec{w}|\cdot\cos\left(\sphericalangle(\vec{v},\vec{w})\right)$.
Kennt man also die Berechnungsformel für das Skalarprodukt und die Formel für die Länge bzw. den Betrag eines Vektors, so kann man mit Hilfe der oben angegebenen Gleichung den Kosinus des Zwischenwinkels bestimmen und damit schließlich den Winkel. Wie das geht, lernst du im Video „Winkel zwischen Vektoren“. Für zwei beliebige Vektoren $\vec{v}={v_1}{v_2}{v_3}$ und $\vec{w}={w_1}{w_2}{w_3}$ ist das Skalarprodukt wie folgt definiert:
$\vec{v}\circ\vec{w}=v_1\cdot w_1+v_2\cdot w_2+v_3\cdot w_3$. Das bedeutet ganz einfach, dass die jeweiligen Komponenten der Vektoren multipliziert und anschließend addiert werden.
Im Video lernst du in knapp 2 Minuten anhand eines Beispiels, wie’s funktioniert.