Stammfunktion bilden: Die 5 wichtigsten Standardfunktionen

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Lehrerlisa am 14.09.2018

Gute Übersicht über die wichtigsten Fälle - kann man immer wieder gebrauchen!

 

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Stammfunktion bilden: Die 5 wichtigsten Standardfunktionen

Wozu eine Stammfunktion bilden?

Die Stammfunktion bilden zu einer vorgegebenen Funktion ist eine Basiskompetenz in der Integralrechnung. Die Integralrechnung kommt in der Oberstufe ganz neu dazu und gehört zum Standardstoff der Abiturprüfungen. Auch im Studium benötigst du diese Kompetenz immer wieder. Typische Aufgaben in diesem Bereich sind Flächenberechnungen, Volumenberechnungen bei Rotationskörpern und Aufgaben zu Änderungsraten. Der wichtigste Schritt ist dabei immer die Bestimmung einer Stammfunktion. Wie du die einfachsten Standardfunktionen integrieren kannst, erfährst du im folgenden Beitrag.
Was ist eine Stammfunktion?

Doch jetzt klären wir erst einmal, was eine Stammffunktion überhaupt ist: Die Stammfunktion $F$ einer stetigen Funktion $f$ ist eine differenzierbare Funktion, deren Ableitung wieder die ursprüngliche Funktion $f$ ist. Oder einfacher gesagt: Die Ableitung einer Stammfunktion ergibt wieder die Funktion selbst. Es gilt also: $F'(x) = f(x)$.

Grafisch kannst du die Stammfunktion und Funktion folgendermaßen vorstellen:

Mehr zum grafischen Zusammenhang zwischen Funktion und Stammfunktion und zum Zeichnen einer Stammfunktion erfährst du im Video grafische Integration.

Übersicht: wichtige Stammfunktionen

Die folgenden Standardbeispiele erleichtern dir den Einstieg in die Integralrechnung. Es gibt 5 Funktionstypen, deren Stammfunktionen du immer parat haben musst:

Funktion Stammfunktion
$x^n$ $\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}$ (für $n\neq -1$)
$\dfrac{1}{x}$ $\ln|x|$
$\ln x$ $x\cdot\ln x-x$
$\sin x$ $-\cos x$ bzw. $\sin x$

Die wichtigsten sind die Potenzfunktionen $x\mapsto x^n$ und die trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus.

Einfache Stammfunktion bilden: Beispiel

Sehen wir uns zur Tabelle oben ein Anwendungsbeispiel an:
Gegeben sei eine Funktion $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ durch $f(x)=x^2$.
Gib eine Stammfunktion von $f$ an.
Lösungsstrategie

Deine Strategie hier lautet: Funktionstyp erkennen und Stammfunktion bilden.
Der vorgegebene Funktionsterm $f(x)=x^2$ ist von der Form $x^n$ mit $n=2$. Also eine Potenzfunktion mit $n\neq -1$. Laut Tabelle ist in einem solchen Fall eine Stammfunktion gegeben durch $F(x)=\frac{1}{n+1}x^{n+1}$, also für $n=2$
Lösung

$F(x)=\frac 13x^3$
Zusatzinfo: unbestimmtes Integral

Bemerkung: Jede oben aufgelisteten Funktionen hat unendlich viele verschiedene Stammfunktionen; es sind lediglich jeweils die einfachsten aufgeführt. Die anderen erhält man durch Addition beliebiger Zahlen. Die Gesamtheit aller Stammfunktionen einer vorgegebenen Funktion heißt dann „unbestimmtes Integral“ dieser Funktion.

Manchmal wird in Klausuren nicht nach einer beliebigen Stammfunktion gefragt, sondern nach einer, die an einer vorgegebenen Stelle einen bestimmten Wert hat.
Wenn bei dieser Aufgabe eine Stammfunktion $F$ mit $F(0)=3$ gefragt wäre, dann würdest du eine zunächst unbekannte Konstante $c$ einführen und $F(x)=\frac 13x^3+c$ ansetzen, dann die Konstante $c$ bestimmen:
$F(0)=3\\
\Leftrightarrow\ \frac 13\cdot 0^3+c=3\\
\Leftrightarrow\ c=3$

Die gesuchte Stammfunktion wäre also dann $F(x)=\frac 13x^3+3$.

 

 
 
 
 

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