Stammfunktion zeichnen (graphische Integration)

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Esme_15 am 02.10.2018

Wusste gar nicht, dass das auch so geht... danke! :-)

 

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Stammfunktion zeichnen (graphische Integration)

Stammfunktion bei gegebenem Graphen

Mit Hilfe des Zusammenhangs zwischen einer Funktion und ihrer Ableitung kann man ausgehend von einem skizzierten Funktionsgraphen den Verlauf einer Stammfunktion zeichnen, d. h. graphisch ermitteln. Abgebildet ist ein Funktionsterm, zu dem du den Graph der Stammfunktion zeichnen sollst. Ist keine Rechnung gefragt, wird auch kein Funktionsterm angegeben. Um den Verlauf einer Stammfunktion zeichnen zu können, nutzt du den Zusammenhang zwischen der Funktion und ihrer Ableitung.
Regeln für die grpahische Integration

Es gilt stets: $F'(x)=f(x)$. Aus dem Verlauf der Ableitung kann man mithilfe der Umkehrschlüsse der Regeln für die graphische Ableitung folgendes festhalten:

  • Wenn der Graph von $f$ oberhalb der $x$-Achse verläuft…,
    steigt der Graph der Stammfunktion.
  • Verläuft der Graph von $f$ oberhalb der $x$-Achse,…
    steigt der Graph der Stammfunktion.
  • Verläuft er unterhalb der $x$-Achse, …
    fällt demnach der Graph von $F$.
  • Hat der Funktionsgraph eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel,
    …dann hat der Graph der Stammfunktion an dieser Stelle einen Extrempunkt.
  • Die Stammfunktion hat einen Wendepunkt an der Stelle,…
    an der $f$ einen Extrempunkt hat.
  • Wenn der Graph der Funktion fällt…
    dann ist der graph der Stammfunktion rechtsgekrümmt.
  • Steigt der Funktionsgraph, …
    so ist der Graph der Ableitungsfunktion linksgekrümmt.

Aufgabenbeispiel

Die folgende Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$.

Skizziere in der Abbildung den Graphen einer Stammfunktion $F$ von $f$.

Lösungsansatz

Bei dieser Aufgabe ist keine Rechnung gefragt und daher auch kein Funktionsterm vorgegeben. Die Form des gesuchten Graphen ergibt sich aus dem Zusammenhang zwischen der Funktion $f$ und ihrer Stammfunktion $F$: Es gilt stets $F'(x)=f(x)$. Das heißt, wir haben in der Abbildung den Graphen der Ableitung der gesuchten Funktion $F$. Aus dem Verlauf der Ableitung kann man mit Hilfe der oben angegebenen Regeln für die graphische Integration auf den Verlauf der Funktion $F$ schließen. Das sind übrigens genau die Umkehrschlüsse der Regeln für das graphische Ableiten von Funktionen.

In der vorliegenden Beispielaufgabe prüfst du zunächst das Vorzeichenverhalten des Graphen von $f$ an den Nullstellen. Dieser weist eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel auf: links davon ist $f$ positiv, rechts davon negativ. Da $f$ die Ableitung der zu zeichnenden Stammfunktion $F$ ist, steigt dieser bis zur Nullstelle von $f$ und fällt danach wieder ab. Das heißt, im Bereich dieser Nullstelle hat die Stammfunktion ein lokales Maximum. Um die Stammfunktion zeichnen zu können, berücksichtigst du im nächsten Schritt den Steigungsverlauf des vorgegebenen Graphen $f$. Der skizzierte Graph ist zunächst streng monoton fallend (das heißt, der Graph der Stammfunktion ist in diesem Bereich rechtsgekrümmt), anschließend monoton steigend (in diesem Bereich ist der Graph der Stammfunktion linksgekrümmt).
Mithilfe dieser Informationen hast du alle Angaben für die graphische Integration beisammen und kannst nun den Graphen einer Stammfunktion zeichnen:

Lösung


 

 
 
 
 

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