Analysis - Integralrechnung: Basiswissen - Stammfunktion zeichnen (graphische Integration)

Stammfunktion zeichnen (graphische Integration)

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Stammfunktion zeichnen (graphische Integration)

Mit Hilfe des Zusammenhangs zwischen einer Funktion und ihrer Ableitung kann man ausgehend von einem skizzierten Funktionsgraphen den Verlauf einer Stammfunktion zeichnen, d. h. graphisch ermitteln. Abgebildet ist ein Funktionsterm, zu dem du den Graph der Stammfunktion zeichnen sollst. Da bei dieser Aufgabe keine Rechnung gefragt ist, wird auch kein Funktionsterm angegeben. Um den Verlauf einer Stammfunktion zeichnen zu können, nutzt du den Zusammenhang zwischen der Funktion und ihrer Ableitung. Es gilt stets: $F'(x)=f(x)$. Aus dem Verlauf der Ableitung kann man mithilfe der Umkehrschlüsse der Regeln für die graphische Ableitung folgendes festhalten:
Wenn der Graph von $f$ oberhalb der $x$-Achse verläuft, steigt der Graph der Stammfunktion. Verläuft er unterhalb der $x$-Achse, fällt der Graph von $F$. Hat der Funktionsgraph eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel, dann hat der Graph der Stammfunktion an dieser Stelle einen Extrempunkt. Die Stammfunktion hat einen Wendepunkt an der Stelle, an der $f$ einen Extrempunkt hat. Fällt der Graph der Funktion, so ist der Graph der Stammfunktion rechtsgekrümmt, steigt der Funktionsgraph, ist der Graph der Ableitungsfunktion linksgekrümmt. In der vorliegenden Beispielaufgabe prüfst du zunächst das Vorzeichenverhalten des Graphen von $f$ an den Nullstellen. Dieser weist eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel au: links davon ist $f$ positiv, rechts davon negativ. Da $f$ die Ableitung der zu zeichnenden Stammfunktion $F$ ist, steigt dieser bis zur Nullstelle von $f$ und fällt danach wieder ab. Das heißt, im Bereich dieser Nullstelle hat die Stammfunktion ein lokales Maximum. Um die Stammfunktion zeichnen zu können, berücksichtigst du im nächsten Schritt den Steigungsverlauf des vorgegebenen Graphen $f$. Mithilfe dieser Informationen kannst du nun den Graphen einer Stammfunktion zeichnen.

 

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