Standardabweichung einer Zufallsgröße berechnen

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Standardabweichung einer Zufallsgröße berechnen

Die Standardabweichung ist ein Maß für die Streuung der Werte einer Zufallsvariable (wie auch die Varianz, das ist einfach das Quadrat der Standardabweichung). Das heißt sie misst, wie stark die Werte im Schnitt hin- und herschwanken. Wenn also eine Zufallsvariable mit Wahrscheinlichkeit $1$ einen bestimmten Wert annimmt, dann gibt es keine (statistisch relevante) Schwankung der
Werte. Damit ist die Standardabweichung null. Nimmt eine Zufallsvariable zwei Werte jeweils mit Wahrscheinlichkeit $\frac12$ an, so ist die Standardabweichung umso größer, je weiter diese Werte auseinander liegen.

Im Abitur können zwei Formeln für die Standardabweichung drankommen. Eine davon gilt für Zufallsvariablen, die nur endlich viele Werte (mit positiver Wahrscheinlichkeit) annehmen. Und die andere gilt speziell für binomialverteilte Zufallsvariablen. In diesem Video erklären wir beide Formeln und wenden sie an.

Aufgabe zum Thema Standardabweichung berechnen

Betrachtet werden zwei Zufallsgrößen $X$ und $Y$. Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit Parametern $n=400$ und $p=0,5$,
während $Y$ folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung hat:

Werte von $Y$ $1$ $2$ $4$ $10$
Wahrscheinlichkeit $0,25$ $0,125$ $0,125$ $0,5$
Standardabweichungen berechnen

Eine Binomialverteilung ist gegeben durch zwei Parameter: die Stichprobengröße $n$ und die Erfolgswahrscheinlichkeit $p$. Die Standardabweichung der Zufallsvariable $X$ wird mit $\sigma(X)$ bezeichnet und mit folgender Formel berechnet:
$\sigma(X)=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}$

In unserem Fall ist $n=400$ und $p=0,5$. Also ergibt sich
$\sigma(X)=\sqrt{400\cdot 0,5 \cdot(1-0,5)}=\sqrt{200\cdot 0,5}=\sqrt{100}=10$.

Für die Zufallsvariable $Y$ kommen nur endlich viele Werte in Frage. Zu jedem Wert ist die zugehörige Wahrscheinlichkeit gegeben. Somit können wir die Formel für die Standardabweichung einer endlichen Zufallsvariable anwenden. Für eine beliebige Zufallsvariable $Z$ mit Werten $w_1$, $w_2$, … ,$w_n$ lautet sie:
$\sigma(Z)=\sqrt{\sum_{i=1}^n \left(w_i-E(Z)\right)^2\cdot P(Z=w_i)}$

Dabei ist $E(Z)$ der Erwartungswert von $Z$. Den berechnen wir jetzt zuerst.
Der Ausdruck $w_i-E(Z)$ misst also die Abweichung des Werts $w_i$ vom Mittelwert $E(Z)$. Davon wird dann das Quadrat genommen, um das Ergebnis unabhängig vom Vorzeichen der Abweichung zu bekommen. Diese quadratische Abweichung wird jeweils nach der zugehörigen Wahrscheinlichkeit gewichtet. Die gewichtete Summe heißt Varianz von $Z$. Die Quadratwurzel der Varianz ist dann die Standardabweichung.

In unserem Fall können wir $w_1=1$, $w_2=2$, $w_3=4$ und $w_4=10$ setzen und den Erwartungswert berechnen.
Wir erhalten:
$E(Y)=6$.
Jetzt wenden wir die Formel für die Standardabweichung an:
$E(Y)=\sum_{i=1}^n w_i\cdot P(Y=w_i)\\
=\sqrt{(1-6)^2 \cdot 0,25 + (2-6)^2 \cdot 0,125 + (4-6)^2 \cdot 0,125 +(10-6)^2 \cdot 0,5}\\
=\sqrt{16,75}\\
\approx 4,09
$

Standardabweichungen vergleichen

Im ersten Schritt haben wir $\sigma(X)=10$ und $\sigma(Y)\approx 4,09$ berechnet. Somit ist $\sigma(X)>\sigma(Y)$.

Lösung

Die Zufallsgröße $X$ hat die größere Standardabweichung.

 

 
 
 
 

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