Stationäre Verteilung bestimmen

Eine stationäre Verteilung ist ein Eigenvektor zum Eigenwert 1. Oft wird zum Beipiel eine Populationsentwicklung von Jahr zur Jahr durch eine Übergangsmatrix beschrieben und es ist eine stationäre Verteilung gesucht. Dazu muss man einen Zustandsvektor finden, der nach Multiplikation mit der Übergangsmatrix unverändert bleibt. Hier lernst du anhand einer Beispielaufgabe, wie’s geht.

Beispielaufgabe stationäre Verteilung

Bestimme eine stationäre Verteilung zur Übergangsmatrix $M=\begin{pmatrix}2 & -2 & 1\\0 & 1 & 0\\0 & -1 & 2\end{pmatrix}$ mit positiven ganzzahligen Einträgen.

Beschreibt der Vektor $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\c\end{array}\right)$ den Ausgangspunkt eines Systems (zum Beispiel die Zusammensetzung einer Bevölkerung), so ergibt sich der neue Zustandsvektor $\left(\begin{array}{c}a’\\ b’\\c’\end{array}\right)$ nach einem Übergang als Produkt der Übergangsmatrix $M$ mit $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\c\end{array}\right)$.(Wie du das Produkt einer 3×3-Matrix mit einem Vektor berechnest, erfährst du im Video 3×3-Matrix-Vektor-Multiplikation)
Das heißt
$\left(\begin{array}{c}a’\\ b’\\c’\end{array}\right)= M \cdot \left(\begin{array}{c}a\\ b\\c\end{array}\right) = \begin{pmatrix}2 & -2 & 1\\0 & 1 & 0\\0 & -1 & 2\end{pmatrix}\cdot\left(\begin{array}{c}a\\ b\\c\end{array}\right)$.

Eine stationäre Verteilung ist ein Vektor, der bei diesem Übergang unverändert bleibt. Das heißt, ein $\overrightarrow{v} \in \mathbb{R}^3$ mit $M \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v}$. Oder anders ausgedrückt: eine stationäre Verteilung ist ein Eigenvektor zum Eigenwert 1. Daher wird er auch genauso berechnet wie die übrigen Eigenvektoren. Nämlich über ein lineares Gleichungssystem.

Lineares Gleichungssystem aufstellen und lösen

Die Matrix-Vektor-Gleichung $M \cdot \overrightarrow {v} = \overrightarrow {v}$ lautet ausgeschrieben
$\begin{pmatrix}2 & -2 & 1 \\0 & 1 & 0\\ 0& -1 & 2 \end{pmatrix}\cdot \left(\begin{array}{c}a\\ b\\c\end{array}\right)=\cdot \left(\begin{array}{c}a\\ b\\c\end{array}\right)$ für $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}a\\ b\\c\end{array}\right)$.

Nach der Formel für die 3×3-Vektor-Matrix-Multiplikation ist dabei
$\begin{pmatrix}2 & -2 & 1\\0 & 1 & 0\\0 & -1 & 2\end{pmatrix}\cdot\left(\begin{array}{c}a\\ b\\c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a+(-2)\cdot b+1\cdot c\\ 0\cdot a+1\cdot b+0\cdot c\\0\cdot a+(-1)\cdot b+2\cdot c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2a – 2b + c\\ b\\-b+2c\end{array}\right)$.
Also lautet die Vektor-Matrix-Gleichung
$\left(\begin{array}{c}2a – 2b + c\\ b\\-b+2c\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}a\\ b\\c\end{array}\right)$.

Jede der drei Komponenten des linken Vektors muss mit der entsprechenden Komponente des rechten Vektors übereinstimmen, so dass sich drei Gleichungen ergeben:
$2a-2b+c=a$
$b=b$ und
$-b+2c=c$.

Oder vereinfacht:
$I: a-2b + c = 0$
$II: 0=0$
$-b+c=0$

$II$ ist redundant und $III$ ist gleichbedeutend mit $b=c$. Setzt man das in $I$ ein, so folgt zusätzlich $a=c$. Jeder Vektor $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\c\end{array}\right)$ mit $a=b=c$ ist also eine Lösung der Gleichung. Deshalb ist die einfachste Lösung mit positiven ganzzahligen Einträgen $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\1\end{array}\right)$.

Lösung

$left(\begin{array}{c}1\\ 1\\1\end{array}\right)$ ist eine stationäre Verteilung von $M$ mit positiven, ganzzahligen Einträgen.