Als Anwendung der 1. Ableitung lernst du hier, wie man anhand eines Funktionsterms den Steigungswinkel an einer vorgegebenen Stelle berechnet.
Eine typische Aufgabe hierzu lautet:
Gegeben sei eine Funktion $f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}$ durch $f(x)=\ln(2x)$. Berechne den Steigungswinkel des Graphen von $f$ an der Stelle $x=0{,}5$. Der Steigungswinkel eines Funktionsgraphen ist der Winkel $\alpha$, den der Graph mit der positiven $x$-Achse einschließt.

Gesucht ist der mit $\alpha$ bezeichnete Winkel in der folgenden Skizze:

Um diesen Winkel $\alpha$ zu berechnen, benötigst du die Steigung $m$ des Graphen im zugehörigen Punkt $0{,}5$. Dann kannst du nämlich die Formel für den Steigungswinkel (in diesem Fall schneidet der Graph an der vorgegebenen Stelle $x = 0{,}5$ die $x$-Achse, man spricht daher auch vom „Neigungswinkel zur x-Achse“) anwenden:
$\tan\alpha=m$.

Zur Berechnung des Steigungswinkels an der Stelle $x = 0{,}5$ benötigst du die 1. Ableitung von $f$:
$f(x)=\ln(2x)$ → $f'(x)=\frac{1}{2x}\cdot2=\frac{1}{x}$.

Um die Formel $\tan\alpha=m$ $\alpha$ anzuwenden, brauchst du die Steigung $m$ an der in Schritt 1 berechneten Stelle $x=0{,}5$. Diese ergibt sich durch Einsetzen von $x=0{,}5$ in die Ableitungsfunktion.
$m=f'(0{,}5)=\frac{1}{0{,}5}=2$
Mit der $\tan^{-1}$-Taste auf deinem Taschenrechner erhältst du jetzt den gesuchten Winkel $\alpha$.
$\tan\alpha=2$ → $\alpha=\tan^{-1}(2)\approx 63{,}43^{\circ}$

Der Steigungswinkel von $G_f$ an der Stelle $x=0{,}5$ beträgt ca. $63{,}43^{\circ}$.

Der Steigungswinkel liegt immer zwischen $-90°$ und $+90°$ (bei negativem Steigungswinkel fällt der Graph), deswegen kann man für dessen Berechnung immer die $\tan^{-1}$-Taste benutzen. Bei Geometrieaufgaben, wo stumpfe Winkel gesucht sind, musst du $180°$ zum Ergebnis addieren.

Tipp:
Bei Winkelberechnungen musst du sicher stellen, dass dein Taschenrechner auf Gradmaß (DEG-Modus) eingestellt ist.

Tipp
Die Berechnung des Steigungswinkels an einer bestimmten Stelle liefert dir die Basis für den Aufgabentyp Schnittwinkel zweier Graphen berechnen, der häufig in Klausuren und dem Abitur drankommt.