Steigungswinkel von Graphen berechnen

Als Anwendung der 1. Ableitung lernst du hier, wie man anhand eines Funktionsterms den Steigungswinkel an einer vorgegebenen Stelle berechnet.

Aufgabe zum Thema Steigungswinkel

Eine typische Aufgabe hierzu lautet:
Gegeben sei eine Funktion $f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}$ durch $f(x)=\ln(2x)$. Berechne den Steigungswinkel des Graphen von $f$ an der Stelle $x=0{,}5$. Der Steigungswinkel eines Funktionsgraphen ist der Winkel $\alpha$, den der Graph mit der positiven $x$-Achse einschließt. Eine Skizze die diesen Sachverhalt anschaulich darstellt, findest du im Lösungscoach. Um diesen Winkel $\alpha$ zu berechnen, benötigst du die Steigung $m$ des Graphen im zugehörigen Punkt $0{,}5$. Dann kannst du nämlich die Formel für den Steigungswinkel (in diesem Fall schneidet der Graph an der vorgegebenen Stelle $x = 0{,}5$ die $x$-Achse, man spricht daher auch vom „Neigungswinkel zur x-Achse“) anwenden:
$\tan\alpha=m$.

Schritt 1: Ableitungsfunktion bestimmen

Zur Berechnung des Steigungswinkels an der Stelle $x = 0{,}5$ benötigst du die 1. Ableitung von $f$:
$f(x)=\ln(2x)$ → $f'(x)=\frac{1}{2x}\cdot2=\frac{1}{x}$.

Schritt 2: Steigungswinkel berechnen

Um die Formel $\tan\alpha=m$ $\alpha$ anzuwenden, brauchst du die Steigung $m$ an der in Schritt 1 berechneten Stelle $x=0{,}5$. Diese ergibt sich durch Einsetzen von $x=0{,}5$ in die Ableitungsfunktion.
$m=f'(0{,}5)=\frac{1}{0{,}5}=2$
Mit der $\tan^{-1}$-Taste auf deinem Taschenrechner erhältst du jetzt den gesuchten Winkel $\alpha$.
$\tan\alpha=2$ → $\alpha=\tan^{-1}(2)\approx 63{,}43^{\circ}$

Lösung

Der Steigungswinkel von $G_f$ an der Stelle $x=0{,}5$ beträgt ca. $63{,}43^{\circ}$.

Bemerkung:

Der Steigungswinkel liegt immer zwischen $−90°$ und $+90°$ (bei negativem Steigungswinkel fällt der Graph), deswegen kann man für dessen Berechnung immer die $\tan^{-1}$-Taste benutzen. Bei Geometrieaufgaben, wo stumpfe Winkel gesucht sind, musst du $180°$ zum Ergebnis addieren.

Tipp:
Bei Winkelberechnungen musst du sicher stellen, dass dein Taschenrechner auf Gradmaß (DEG-Modus) eingestellt ist.

Tipp
Die Berechnung des Steigungswinkels an einer bestimmten Stelle liefert dir die Basis für den Aufgabentyp Schnittwinkel zweier Graphen berechnen, der häufig in Klausuren und dem Abitur drankommt.