Streckung – Funktionsterme gestreckter Graphen bestimmen

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Streckung – Funktionsterme gestreckter Graphen bestimmen

Streckung und Stauchung

Hier erfährst du, wie sich die Streckung bzw. Stauchung eines Funktionsgraphen auf den zugehörigen Funktionsterm auswirkt.
Dabei sind zwei Arten von Streckung bzw. Stauchung relevant:

Horizontale Streckung parallel zur $x$-Achse und vertikale Streckung parallel zur $y$-Achse. Streckung entlang der $y$-Achse kommt deutlich häufiger vor. Die Streckfaktor bzw. Stauchungsfaktor wird mit $m$ bezeichnet.
Um einen Graphen $G_f$ um den Faktor $m$ zu strecken, musst du am Funktionsterm die folgenden Änderungen vornehmen:

Streckung längs der x-Achse $\Rightarrow$ $f(x)$ wird zu $f \left( \frac {x}{m} \right)$
Streckung längs der y-Achse $\Rightarrow$ $f(x)$ wird zu $m \cdot f(x)$

Ist $m > 1$, so erscheint der Graph tatsächlich gestreckt.
Für $m 2 ]0; 1[$ wird der Graph zusammengedrückt und man spricht von „Stauchung“ anstelle von „Streckung“.

Grafische Veranschaulichung

Die folgende Übersicht zeigt, was bei Streckung entlang der $x$-Achse und bei Streckung entlang der $y$-Achse mit einem Funktionsgraphen passiert:

Aufgabenbeispiel zur Streckung eines Funktionsgraphen

Die Funktion $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ sei gegeben durch $f(x)=2\sin(x)-x$. Bestimme Funktionsterme $g(x)$ und $h(x)$ mit folgenden Eigenschaften:

a) $G_g$ entsteht aus $G_f$ durch Streckung um den Faktor $2$ in $x$-Richtung.
b) $G_h$ entsteht aus $G_f$ durch Streckung um den Faktor $3$ in $y$-Richtung.

Lösung a) Streckung in x-Richtung

Bei der ersten Teilaufgabe ist eine horizontale Streckung (entlang der $x$-Achse) gefragt. Also musst du im Funktionsterm $f(x)$ die Variable $x$ durch den Streckfaktor $2$ teilen.
Somit erhältst du den neuen Funktionsterm
$g(x)=f\left(\frac{x}{2}\right)\\
=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{x}{2}$

Der um den Faktor $2$ in $x$-Richtung gestreckte Graph von $f$ wird durch die Funktion $g$ mit $g(x)=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{x}{2}$ eschrieben.

Lösung b) Streckung in y-Richtung

Bei der zweiten Teilaufgabe ist eine vertikale Streckung (entlang der $y$-Achse) gefragt. Also musst du den kompletten Funktionsterm $f(x)$ mit dem Streckfaktor $3$ multiplizieren.
Somit erhältst du den neuen Funktionsterm

$h(x)=3\cdot f(x)\\
=3\cdot\left(2\sin(x)-x\right)\\
=6\sin(x)-3x$

Der um den Faktor $3$ in $y$-Richtung gestreckte Graph von $f$ gehört zur Funktion $h$ mit $h(x)=6\sin(x)-3x$.

 

 
 
 
 

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