Symmetrieverhalten untersuchen

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Symmetrieverhalten untersuchen

Arten von Symmetrie

Das Symmetrieverhalten einer Funktion zu untersuchen ist Bestandteil einer jeden Kurvendiskussion und kommt sehr oft in Klausuren zur Analysis und im Abitur dran.
Es gibt zwei Symmetriearten, die du erkennen musst: nämlich Achsensymmetrie zur $y$-Achse und Punktsymmetrie zum Ursprung.

Symmetrieverhalten: Bedingung für Achsensymmetrie

Das Merkmal achsensymmetrischer Funktionsgraphen ist, dass der Graph unverändert bleibt, wenn man ihn an der $y$-Achse spiegelt (siehe hierzu auch das Video zum Thema Spiegelung). Am Funktionsterm kann Achsensymmetrie rechnerisch nachgewiesen werden. Die Bedingung hierfür lautet: $f(-x)= f(x)$.

Symmetrieverhalten: Bedingung für Punktsymmetrie

Das Merkmal punktsymmetrischer Graphen ist, dass der Graph unverändert bleibt, wenn man ihn zuerst an der $y$-Achse und dann an der $x$-Achse spiegelt. Rechnerisch prüfen kannst du die Punktsymmetrie mithilfe der Bedingung $f(-x)=-f(x)$. Punktsymmetriesche Graphen kann man auch noch anders charakterisieren: Der Graph einer punktsymmetrischen Funktion erscheint nach einer 180°-Drehung um den Ursprung unverändert.

Übersicht über die Merkmale und den Nachweis von Symmetrie

Achsensymmetrie zur $x$-Achse Punktsymmetrie zum Ursprung
Beispiel:
Beispiel
Merkmal:
Graph bleibt unverändert, wenn man ihn an der y-Achse spiegelt
Merkmal:
Graph bleibt unverändert, wenn man ihn zuerst an der y-Achse und dann an der x-Achse spiegelt.
Nachweis für Funktionsterm
$f (x):f (-x) = f (x)$
Nachweis für Funktionsterm
$f (x):f (-x) = -f (x)$

Symmetrieverhalten untersuchen Schritt für Schritt

Am besten fängst du bei Aufgaben zum Symmetrieverhalten immer damit an, den Term $f(-x)$ auszurechnen. Wenn dieser sich zu $f(x)$ umformen lässt, dann handelt es sich um Achsensymmetrie. Wenn nicht, dann musst du $(-1)$ ausklammern und die Bedingung $f(-x) = -f(x)$ für die Punktsymmetrie prüfen.

Zur Prüfung von Achsensymmetrie gehst du in zwei Schritten vor: Zunächst berechnest du den Funktionsterm der Spiegelung. Denn die Art der Symmetrie ergibt sich aus dem Verhältnis der Spiegelung des Graphen an der $y$-Achse zum ursprünglichen Graphen. Danach vergleichst du das Ergebnis im zweiten Schritt mit dem ursprünglichen Funktionsterm.
Tipp: Achsensymmetrie kann man auch sofort am Funktionsterm erkennen, wenn nur gerade Potenzen der Variable vorkommen (evtl. auch verschachtelt in anderen Funktionen). Meistens wird aber in Klausuren und dem Abitur der rechnerische Nachweis über $f(-x)= f(x)$ verlangt.

Auch bei der Untersuchung auf Punktsymmetrie berechnest du im ersten Schritt den Funktionsterm der Spiegelung und vergleichst ihn im zweiten Schritt mit dem Ausgangsterm durch Ausklammern des Faktors $(-1)$.
Tipp: Punktsymmetrie kannst du ebenfalls sofort am Funktionsterm erkennen, nämlich dann, wenn nur ungerade Potenzen der Variablen und sonst keine anderen Funktionen (Sinus, Logarithmus, Brüche etc.) vorkommen. Auch hier ist der Nachweis der Symmetrie aber meistens rechnerisch gefordert, und zwar durch die Bedingung $f(-x)=-f(x)$.

Beispielaufgabe

Nach dem Theorieteil jetzt eine Aufgabe zum Symmetrieverhalten von Funktionen:

Untersuche das Symmetrieverhalten der folgenden Funktionen:

a) $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},x\mapsto 5x^2-3$
b) $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R},x\mapsto x^5-3x^3+x$

Lösung Teilaufgabe a)

Schritt 1: Funktionsterm der Spiegelung berechnen
Die Symmetrieart ergibt sich aus dem Verhältnis der Spiegelung des Graphen an der y-Achse zum ursprünglichen Graphen. Der Funktionsterm der gespiegelten Funktion ist
$f(-x)=5(-x)^2-3\\
=5x^2-3$.

Schritt 2: Ergebnis mit ursprünglichem Funktionsterm vergleichen
Laut Aufgabenstellung ist $f(x)=5x^2-3$. Also stimmt der in Schritt 1 berechnete Term der Spiegelung $f(-x)$ mit dem ursprünglichen Funktionsterm überein, das heiß es gilt
$f(-x)=f(x)$.
für alle $x\in\mathbb{R}$.

Somit ist der Graph von $f$ achsensymmetrisch zur $y$-Achse.

Lösung Teilaufgabe b)

Schritt 1: Funktionsterm der Spiegelung berechnen
Auch hier berechnen wir im ersten Schritt den Funktionsterm der Spiegelung. Dieser ist:
$g(-x)=(-x)^5-3(-x)^3+(-x)\\
=-x^5-(-3x^3 )-x\\
=-x^5+3x^3-x$.

Schritt 2: Ergebnis mit ursprünglichem Funktionsterm vergleichen

Wenn wir nun den Term aus der Aufgabenstellung $g(x) = x5 -3×3 + x$ mit dem Ergebnis aus Schritt 1 vergleichen, fällt auf, dass alle Vorzeichen umgekehrt sind. Deshalb stimmen die Funktionsterme nicht überein. Also liegt keine Achsensymmetrie zu $x$-Achse vor. Deshalb prüfen wir die Funktion jetzt auf Punktsymmetrie:
Das geht durch Ausklammern des Faktor $(-1)$ im Term $g(-x)=-x^5+3x^3-x$ (Ergebnis aus Schritt 1):

$g(-x)=-x^5+3x^3-x\\
=-(x^5-3x^3+x)$.
In der Klammer steht jetzt genau der ursprüngliche Funktionsterm $g(x)$, das heißt, es gilt $g(-x)=-g(x)$ für alle $x\in\mathbb{R}$.

Somit ist der Graph von $g$ punktsymmetrisch zum Ursprung.

 

 
 
 
 

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