Tangentengleichung bestimmen

Die Tangentengleichung bestimmen ist eine typische Anwendung der Differentialrechnung. In diesem Video lernst du in drei Minuten, wie du die Gleichung der Tangente an einer bestimmten Stelle aufstellst. In der Beispielaufgabe im Video soll eine Gerade bestimmt werden, die den Graph einer vorgegebenen Funktion in einem vorgegebenen Punkt berührt und dort dieselbe Steigung hat. Eine solche Gerade nämlich ist die Tangente. Im Lösungscoach findest du eine anschauliche Darstellung.

Aufgabe Tangentengleichung bestimmen

Die Funktion $f:[0;\infty[\:\to\mathbb{R}$ sei gegeben durch $x\mapsto\sqrt{3x}$. Ihr Graph sei $G_f$. Bestimme eine Gleichung der Tangente an $G_f$ an der Stelle $x=3$.

Lösungsansatz

Die Gleichung einer nicht senkrechten Gerade hat immer die Form $y=m\cdot x+t$, wobei $m$ die Steigung und $t$ der $y$-Achsenabschnitt ist. Um diese Aufgabe zu lösen musst du also passende Parameter $m$ und $t$ bestimmen, so dass die Gleichung $y=m\cdot x+t$ genau die Tangente an $G_f$ an der Stelle $x=3$ beschreibt. Diese Bestimmung der Tangentengleichung geht in drei Schritten.

Schritt 1: Funktion im Tangentenpunkt ableiten

Im ersten Schritt musst du den vorgegebenen Funktionsterm im Tangentenpunkt ableiten, um dann die Steigung an der vorgegebenen Stelle $x=3$ zu bestimmen. Siehe hierzu auch das Video Die 1. Ableitung berechnen.

Die Wurzel $\sqrt{3x}$ kannst du als Potenz schreiben, um dann die entsprechende Ableitungsregel anzuwenden:
$f'(x)=\big(\sqrt{3x}’\qquad|$ Wurzel als Potenz schreiben
$=\big((3x)^{\frac12}\big)’\qquad$| Kettenregel anwenden
$=\frac12\cdot(3x)^{\frac12-1}\cdot\underbrace{(3x)‘}_{=3}\qquad$|vereinfachen
$=\frac12\cdot\frac1{\sqrt{3x}}\cdot3\qquad$|vereinfachen
$=\frac3{2\sqrt{3x}}$

In diesen Ableitungsterm setzt du nun die vorgegebene Stelle $x=3$ ein, um die Steigung des Graphen von $f$ dort zu bestimmen.
$m=f'(3)=\frac3{2\sqrt{3\cdot3}}=\frac12$

Schritt 2: Funktionswert im Tangentenpunkt bestimmen

Im zweiten Schritt zur Bestimmung der Tangentengleichung musst du den Funktionswert im Tangentenpunkt berechnen. Den Parameter $m$ in der Geradengleichung $y=m\cdot x+t$ haben wir in Schritt 1 bestimmt. Um den $y$-Achsenabschnitt $t$ zu berechnen, brauchen wir die Koordinaten eines Punktes auf der Geraden. Dazu eignet sich der Tangentenpunkt bei $x=3$, dessen $y$-Koordinate als nächstes berechnet wird. Dazu setzt du $x=3$ in den Funktionsterm von $f$ ein.
$f(x)=\sqrt{3x}$ ⇒ $f(3)=\sqrt{3\cdot3}=3$

Schritt 3: Tangentengleichung aufstellen

Jetzt kannst du im letzten Schritt die Geradengleichung aufstellen. In der Gleichung $y=m\cdot x+t$ fehlt uns nur noch der Parameter $t$. Um diesen zu berechnen, löst du die Gleichung nach $t$ auf:
$y=m\cdot x+t$ $t=y-m\cdot x$.
Durch Einsetzen der Punktkoordinaten des Punktes $P(3|3)$ und der in Schritt 1 berechneten Steigung erhältst du:
$t=y-m\cdot x=3-\frac12\cdot3=\frac32$

Nun hast du alle Informationen gesammelt, die du zur Aufstellung der Tangentengleichung benötigst. Setze also jetzt die berechneten Werte für $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung $y=m\cdot x + t$ ein und fertig ist die gesuchte Tangentengleichung.

Lösung

Die Tangente an $G_f$ an der Stelle $x=3$ hat die Gleichung $y=\frac12 x+\frac32$.