Übergangsdiagramm aus Übergangsmatrix erstellen

Dieses Video zeigt dir Schritt für Schritt, wie du ein Übergangsdiagramm zu einer vorgegebenen Übergangsmatrix erstellst. Das gehört zu den Basisaufgaben im Bereich Matrizen.
Wir steigen am besten direkt mit einer Beispielaufgabe ein.

Beispielaufgabe Übergangsdiagramm

Die Entwicklung einer Vogelpopulation von einem Jahr zum nächsten wird mit folgender Matrix modelliert:

Dabei bezeichnet K die Küken, J die Jungvögel und A die Altvögel. Erstelle zu diesem Modell ein passendes Übergangsdiagramm.

Hintergrundinfos zur Lösung

Die angegebene Matrix gibt zu jeder Kombination von Populationsgruppen an, wie viele aus der zweiten Populationsgruppe durchschnittlich im Verlauf eines Jahres pro Individuum aus der ersten Populationsgruppe hervorgehen. Diese Information kann auch mit Hilfe eines Übergangsdiagramms graphisch veranschaulicht werden. Umwandlungen einer Übergangsmatrix in ein Übergangsdiagramm und umgekehrt gehören zu den einfachsten Standardaufgaben im Bereich stochastische Prozesse. Die drei Populationsgruppen K, J und A entsprechen im Stochastik-Jargon drei möglichen Zuständen für jedes Individuum der betrachteten Vogelpopulation. In einem Übergangsdiagramm werden die Zustände durch beschriftete Knotenpunkte dargestellt und die Übergänge zwischen den Zuständen durch Pfeile.

Schritt 1: Mögliche Zustände notieren

Im vorliegenden Modell gibt es drei Zustände: K (Küken), J (Jungvögel) und A (Altvögel). Damit das Übergangsdiagramm übersichtlich wird, müssen alle Zustände so angeordnet werden,
dass sich die Übergangspfeile nicht durchkreuzen. Bei drei Zuständen bietet sich eine dreieckige Anordnung an:

Schritt 1: Übergangspfeile mit Beschriftung einfügen

Jetzt gehst du die Einträge der Übergangsmatrix einzeln durch: Jeder Eintrag entspricht einer Übergangsrate von einem Zustand in einem anderen. Dort, wo die Übergangsrate null ist,
brauchst du keinen Pfeil einzuzeichnen. In der ersten Zeile der Matrix A ist der erste Eintrag 0, dieser wird also ignoriert. Der zweite Eintrag ist 1 und beschreibt den Übergang von J nach K mit Wert 1. Daher ziehen wir einen Pfeil von J nach K mit der Beschriftung 1. Der dritte Eintrag in der ersten Zeile ist 1 und beschreibt den Übergang von A nach K mit Wert 4. Deshalb ziehst du einen Pfeil von A nach K und beschriftest ihn mit 4.

Danach arbeitest du analog alle weiteren Einträge der Matrix ab und ziehst die entsprechenden Pfeile.
Eine kleine Besonderheit gibt es beim letzten Eintrag in der Matrix, der einen Übergang von A nach A beschreibt. Entsprechend wird dieser durch einen zirkulären Pfeil dargestellt.

Lösung

Die fertige Übergangsmatrix sieht dann so aus: