Übergangsmatrix aus Übergangsgraphen erstellen

In diesem Video lernst du in 3 Minuten, wie du eine Übergangsmatrix auf Basis eines vorgegebenen Übergangsdiagramms erstellst. Dieser Aufgabentyp ist die umgekehrte Variante des Klassikers, bei dem Übergangsmatrix vorgegeben ist und du daraus eine Übergangsmatrix zeichnen musst. Wie das funktioniert, lernst du im Video Übergangsdiagramm erstellen.

Was ist eine Übergangsmatrix?

Mit Übergangsmatrizen lassen sich Prozesse darstellen, bei denen eine Verteilung einer von Personen oder Objekten unter unendlich vielen Zuständen wechselt. Dabei einstpricht jeder Eintrag in der Matrix einer Übergangsrate von einem Zustand in einen anderen. Zum anderen modelliert man die Entwicklung von Anteilen. Typische Anwendungsaufgaben sind in diesem Zusammenhang:

• Populationsentwicklungen, z.~B. von Vögeln mit den drei Zuständen Küken, Jungvogel und Altvogel
• Produktionsprozesse, z.~B. mit den drei Zuständen Rohmaterialien, Zwischenprodukte
• Austauschprozesse, z.~B. Marktanteile von verschiedenen Produkten einer Kategorie

Beispielaufgabe

Das folgende Übergangsdiagramm zeigt, wie sich das Reiseverhalten er Kunden eines Reisebüros von einem Jahr zum nächsten entwickelt. SU bezeichnet Strandurlaub, SR Städtereise und So sonstige.

Erstellen Sie eine entsprechende Übergangsmatrix.

Schritt 1: Matrixgröße ermitteln

Zunächst musst du erkennen, wie viele Zeilen und Spalten die Matrix haben muss. Allgemein gilt: Eine Übergangsmatrix hat genauso viele Zeilen wie Spalten, und genauso viele Spalten, wie es Zustände im Übergangsgraphen gibt.

Die Matrix muss also Übergangswahrscheinlichkeiten von diesen drei Zuständen jeweils nach SR, SU und So beschreiben. Sie braucht also 3 Zeilen und 3 Spalten.

Schritt 2: Matrixeinträge aus Diagramm ablesen

Jetzt übertragen wir die Zahlen aus dem Übergangsgraphen in die Matrix, angefangen mit der 1. Zeile und 1. Spalte. Hier brauchen wir die Übergangsrate von SR nach SR. Das entspricht dem linken Pfeil mit einer Übergangswahrscheinlichkeit von 0,6. Diesen Wert tragen wir in die Matrix ein. Als Nächstes betrachten wir die 2. Spalte in der 1. Zeile, also den Übergang von SU nach SR mit einer Übergangsrate von 0,1. Danach machen wir mit dem gleichen Muster weiter, und zwar bis alle Einträge der Matrix stehen.

Merke dir: Der Eintrag in Zeile a und Spalte b entspricht dem Übergang von Zustand b in Zustand a. Somit erhalten wir die gesuchte Übergangsmatrix.
Damit erhalten wir die gesuchte Übergangsmatrix.

Lösung

$\begin{pmatrix}0,6 & 0,1 & 0,2 \\ 0,2 & 0,9 & 0,5 \\ 0,2 & 0 & 0,3 \end{pmatrix}$