Umkehrbarkeit einer Funktion prüfen

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Henriette von TOUCHDOWN am 31.08.2018

Danke für dein nettes Feedback!

max_g01 am 31.08.2018

hilfreich wie immer :))))

 
 

Umkehrbarkeit einer Funktion prüfen

Aufgabe zur Umkehrbarkeit einer Funktion

Oft musst du eine Funktion auf Umkehrbarkeit überprüfen. Umkehrbarkeit bedeutet, dass es zu dieser Funktion eine Umkehrfunktion gibt. Das heißt, zu jedem Funktionswert gehört genau ein Argument.
Eine typische Aufgabe zu diesem Thema lautet:

Gegeben sei die Funktion $f:[0;\infty[\to\mathbb{R}$ durch $f(x)=2(x+1)^2-1$. Entscheide, ob $f$ umkehrbar ist und begründe deine Antwort.

Lösungsansatz

Das einfachste Kriterium für die Umkehrbarkeit einer Funktion ist das Monotonieverhalten, bzw. die strenge Monotonie: Ist eine Funktion entweder auf ihrem gesamten Definitionsbereich streng monoton wachsend oder streng monoton fallend, so ist sie umkehrbar.
Tipp: die strenge Monotonie ist für die Umkehrbarkeit nicht zwingend notwendig, liegt aber bei Abitur- und Klausuraufgaben zu diesem Thema fast immer vor. Sie hat den Vorteil, leicht nachprüfbar zu sein.
Die vorgegebene Aufgabe löst du in 2 Schritten: Im ersten Schritt führst du eine Monotonieuntersuchung durch und bestimmst, wo die Funktion $f$ steigend bzw. fallend ist. Die Untersuchung des Monotonieverhaltens einer Funktion beginnt immer mit der Berechnung der 1. Ableitung. Im Anschluss untersuchst du das Vorzeichen der Ableitung: wann ist die Ableitung positiv, wann negativ? Um das herauszufinden, musst du zunächst die Nullstellen berechnen.
Schritt 1: Monotonie untersuchen

Ableitung von $f$ berechnen:
$f(x)=2(x+1)^2-1 \Rightarrow f'(x)=2\cdot2\cdot(x+1)=4x+4$

Nullstelle(n) der Ableitung berechnen:
$f'(x)=0 \\
\Leftrightarrow 4x+4=0 \quad|\;-4\\
\Leftrightarrow 4x=-4 \quad|\;:4\\
\Leftrightarrow x=-1$

Vorzeichen der Ableitungsfunktion untersuchen
Die Berechnung der Nullstelle(n) hat eregeben, dass die Ableitungsfunktion eine Nullstelle bei $x =-1$ hat.
Das bedeutet: Links von der Nullstelle ist der Term $4x+4$ negativ, z. B. bei $x=-2$.
$4\cdot(-2)+4=-8+4=-4 <0 $ Rechts von der Nullstelle ist der Term positiv, z. B. bei $x=0$. $4\cdot 0+4=0+4=4>0$

Fazit: für $x>-1$ ist $f'(x)>0$, also $f$ streng monoton wachsend. Der vorgegebene Definitionsbereich von $f$ ist das Intervall $[0;\infty[$, das vollständig im Bereich $x>-1$ liegt. Somit ist $f$ auf dem gesamten Definitionsbereich streng monoton wachsend.

Schritt 2: Umkehrbarkeitsbereich bestimmen

Auf jedem Intervall, in dem $G_f$ entweder streng monoton steigt oder streng monoton fällt, ist $f$ umkehrbar. Nach Schritt 1 ist der gesamte Definitionsbereich von $f$ ein solches Intervall. Daher ist die Funktion $f$ (global) umkehrbar.
Lösung

Die Funktion $f$ ist auf ihrem gesamten Definitionsbereich streng monoton wachsend und daher umkehrbar.

Wie du eine Umkehrfunktion berechnest, erfährst du im Video Umkehrfunktion berechnen, wie diese graphisch aussieht, zeigt dir das Video Umkehrfunktion graphisch bestimmen.

Bemerkung
Manchmal ist eine Funktion auf ganz $\mathbb{R}$ gegeben und du musst herausfinden, wo sie umkehrbar ist und wo nicht. Wäre in dieser Aufgabe $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},x\mapsto 2(x+1)^2-1$ gegeben, so würde sich das folgende Bild ergeben:

Die so definierte Funktion wäre auf $]{-}\infty;-1]$ und auf $[-1;\infty[$ jeweils umkehrbar, nicht aber auf beidseitigen Umgebungen von $x=-1$, wie z. B. $[-2;0]$.

 

 
 
 
 

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