Analysis - Kurvendiskussion: Grenzwerte und Umkehrfunktionen - Umkehrbarkeit einer Funktion prüfen

Umkehrbarkeit einer Funktion prüfen

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Umkehrbarkeit einer Funktion prüfen

Oft musst du eine Funktion auf Umkehrbarkeit überprüfen. Umkehrbarkeit bedeutet, dass es zu dieser Funktion eine Umkehrfunktion gibt, d.h. zu jedem Funktionswert genau ein Argument gehört. Eine typische Aufgabe zu diesem Thema lautet: Gegeben sei die Funktion $f:[0;\infty[\to\mathbb{R}$ durch $f(x)=2(x+1)^2-1$. Entscheide, ob $f$ umkehrbar ist und begründe deine Antwort. Das einfachste Kriterium für die Umkehrbarkeit einer Funktion ist das Monotonieverhalten, bzw. die strenge Monotonie: Ist eine Funktion entweder auf ihrem gesamten Definitionsbereich streng monoton wachsend oder streng monoton fallend, so ist sie umkehrbar. Tipp: die strenge Monotonie ist für die Umkehrbarkeit nicht zwingend notwendig, liegt aber bei Abituraufgaben zu diesem Thema fast immer vor und hat den Vorteil, leicht nachprüfbar zu sein.
Die vorgegebene Aufgabe löst du in 2 Schritten: Im ersten Schritt führst du eine Monotonieuntersuchung durch und bestimmst, wo die Funktion $f$ steigend bzw. fallend ist. Die Untersuchung des Monotonieverhaltens einer Funktion beginnt immer mit der Berechnung der 1. Ableitung. Im Anschluss untersuchst du das Vorzeichen der Ableitung: wann ist die Ableitung positiv, wann negativ? Um das herauszufinden, musst du zunächst die Nullstellen berechnen. Die Berechnung ergibt, dass die Ableitungsfunktion eine Nullstelle bei $x =−1$ hat. Den ausführlichen Rechenweg kannst du wie immer im Lösungscoach nachlesen. Links von der Nullstelle ist der Term $4x+4$ negativ, z. B. bei $x=-2$. Rechts von der Nullstelle ist der Term positiv, z. B. bei $x=0$. Fazit: für $x>-1$ ist $f'(x)>0$, also $f$ streng monoton wachsend. Der vorgegebene Definitionsbereich von $f$ ist das Intervall $[0;\infty[$, das vollständig im Bereich $x>-1$ liegt. Somit ist $f$ auf dem gesamten Definitionsbereich streng monoton wachsend. Im zweiten Schritt zur Überprüfung der Umkehrbarkeit der Funktion musst du den Umkehrbarkeitsbereich bestimmen. Auf jedem Intervall, in dem $G_f$ entweder streng monoton steigt oder streng monoton fällt, ist $f$ umkehrbar. Nach Schritt 1 ist der gesamte Definitionsbereich von $f$ ein solches Intervall. Daher ist die Umkehrbarkeit der Funktion $f$ im gesamten Definitionsbereich gegeben. Wie du eine Umkehrfunktion berechnest, erfährst du im Video Umkehrfunktion berechnen, wie diese graphisch aussieht, zeigt dir das Video Umkehrfunktion graphisch bestimmen.

 

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