Umkehrfunktion berechnen / bestimmen

Bewerten
Kommentieren
 

Bewertung

5/5 Sterne
2 Bewertungen
 

Schreibe einen Kommentar

Deine E-Mail-Adresse wird nicht veröffentlicht. Erforderliche Felder sind mit * markiert.

 
 
 

Umkehrfunktion berechnen / bestimmen

Umkehrfunktion berechnen - Grundlagenwissen

Hier die Anleitung, wie du aus einem vorgegebenen Funktionsterm den Term der zugehörigen Umkehrfunktion berechnen kannst.
Die Umkehrfunktion, manchmal auch inverse Funktion genannt, soll zu einem vorgegebenen Wert $y$ angeben, welches $x$ im Funktionsterm von $f$ eingesetzt werden muss, damit $f (x) = y$ gilt. Oder anders gesagt: Für jedes $y$ aus dem Wertebereich von $f$ ist $f^{-1}(y)$ die Zahl, die man in $f$ einsetzen muss, um den Wert $y$ zu erhalten, d. h. $f(x) = y \Leftrightarrow x = f^{-1}(y)$.

Will man die Umkehrfunktion berechnen, löst man die Gleichung $f (x) = y$ nach $x$ auf, vertauscht dann $x$ und $y$ und ersetzt schließlich das $y$ durch die Standardbezeichnung für die Umkehrfunktion:$f^{-1}(x)$.

Der Graph der Umkehrfunktion ergibt sich aus dem Graph der ursprünglichen Funktion durch Spiegelung an der Gerade mit der Gleichung $y = x$, siehe dazu das Video Umkehrfunktion zeichnen. Hier findest du eine anschauliche Herleitung für die graphische Bestimmung der Umkehrfunktion und eine bessere Vorstellung davon, was genau diese Funktion denn eigentlich ist. Wie du mithilfe einer Monotonieuntersuchung überprüfst, ob eine Funktion überhaupt umkehrbar ist, erfährst du im Video Umkehrbarkeit einer Funktion prüfen.

Aufgabe: Umkehrfunktion berechnen

Berechne den Funktionsterm der Umkehrfunktion von
$f:[-3;\infty[\;\to\;]{-}\infty;3],x\mapsto 3-\sqrt{3x+9}$.
Schritt 1: Gleichung nach $x$ auflösen

Der vorgegebene Funktionsterm lautet $f(x)=3-\sqrt{3x+9}$. Diesen setzt du gleich $y$ (eine neue Variable). Das liefert die Gleichung
$3-\sqrt{3x+9}=y$,
die du jetzt nach $x$ auflöst.

$3-\sqrt {3x+9}=y \qquad | -3$
? $-\sqrt {3x+9} = y-3 \qquad |\cdot (-1)$
? $\sqrt {3x+9} = 3-y \qquad |$ quadrieren
? $3x + 9 = (3-y)^2 \qquad | -9$
? $3x = (3-y)^2 – 9 \qquad | : 3$
? $x = \frac13 (3-y^2 – 3)$

Schritt 2: Variablen vertauschen und Schreibweise anpassen

Jetzt vertauschst du in dem Ergebnis aus Schritt 1 die Variablen $x$ und $y$. Das Ergebnis sieht dann so aus:
$y = \frac13(3-x)^2-3$.

Schließlich führst du die Standardbezeichnung für die Umkehrfunktion ein, indem du den ursprünglichen Funktionsnamen (in diesem Fall $f$) mit dem Zusatz $\;^{-1}\;$ versiehst:
$f^{-1}(x)=\frac{1}{3}(3-x)^2-3$

Lösung

Die Umkehrfunktion von $f$ hat den Funktionsterm
$f^{-1}(x)=\frac{1}{3}(3-x)^2-3$.

Bemerkung
Wenn nicht nur nach dem Funktionsterm gefragt ist, sondern nach der Umkehrfunktion selbst gefragt ist, dann musst du zusätzlich auch den Definitionsbereich mit angeben. Er stimmt immer mit dem Wertebereich der ursprünglichen Funktion überein. In unserem Fall ist das das Intervall $]{-}\infty;3]$.
Das bedeutet, die vollständige Angabe der Umkehrfunktion wäre:
$f^{-1}:\;]{-}\infty;3]\to\mathbb{R},x\mapsto\frac{1}{3}(3-x)^2-3$.

Will man jetzt zusätzlich noch den Wertebereich angeben, so stimmt dieser mit dem Definitionsbereich der ursprünglichen Funktion überein.
$f^{-1}:\;]{-}\infty;3]\to[-3;\infty[,x\mapsto\frac{1}{3}(3-x)^2-3$.

 

 
 
 
 

Jetzt einloggen


Passwort vergessen?
 

Durch die weitere Nutzung der Seite stimmen Sie der Verwendung von Cookies zu. Weitere Informationen

The cookie settings on this website are set to "allow cookies" to give you the best browsing experience possible. If you continue to use this website without changing your cookie settings or you click "Accept" below then you are consenting to this.

Close