Varianz einer Zufallsgröße berechnen

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Varianz einer Zufallsgröße berechnen

Zur Berechnung der Varianz einer Zufallsgröße gibt es zwei Formeln: Eine davon gilt für Zufallsvariablen, die endlich viele Werte (mit positiver Wahrscheinlichkeit) annehmen. Die andere gilt speziell für binomialverteilte Zufallsvariablen. Beide werden im Video und im dazugehörigen Lösungscoach vorgestellt.

Varianz: Definition

Die Varianz ist, ebenso wie die Standardabweichung, ein Maß für die Streuung der Werte einer Zufallsvariablen. Sie misst, wie stark die Werte im Schnitt hin- und herschwanken. Wenn also eine Zufallsvariable mit Wahrscheinlichkeit 1 einen bestimmten Wert annimmt, dann gibt es keine (statistisch relevante) Schwankung der werte. Die Varianz ist somit null. Nimmt eine Zufallsvariable zwei Werte, jeweils mit Wahrscheinlichkeit $\frac12$ an, so ist die Varianz umso größer, je weiter die Werte auseinander liegen.

Beispielaufgabe

Betrachtet werden die beiden Zufallsgrößen $X$ und $Y$. $X$ ist binomialverteilt mit Parametern $n=400$ und $p=0,5$, während $Y$ folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung hat:

Werte von $Y$ $1$ $2$ $4$ $10$
Wahrscheinlichkeit $0,25$ $0,125$ $0,125$ $0,5$

Welche von beiden hat die größere Varianz?

Schritt 1: Binomialverteilte Zufallsgröße

Eine Binomialverteilung ist gegeben durch zwei Parameter: die Stichprobengröße $n$ und die Erfolgswahrscheinlichkeit $p$. Die Varianz der Zufalssvariablen $X$ wird mit $Var(X)$ bezeichnet
und mit folgender Formel berechnet:

$Var(X)= n \cdot p \cdot (1-p)$.

In unserem Fall ist $n=400$ und $p=0,5$, also ergibt sich:

$Var(X)= 400 \cdot 0,5 \cdot (1-0,5)=200 \cdot 0,5 = 100$.

Schritt 2: Zufallsgröße mit endlich vielen Werten

Für die Zufallsvariable $Y$ kommen nur endlich viele Werte in Frage. Zu jedem Wert ist die zugehörige Wahrscheinlichkeit gegeben. Somit können wir die Formel für die Varianz einer endlichen Zufallsgröße anwenden. Sie lautet für eine beliebige Zufallsvariable $Z$mit Werten $w_1$, $w_2$, … $w_n$:

$\displaystyle\mathrm{Var}(Z)=\sum_{i=1}^n \left(w_i-E(Z)\right)^2\cdot P(Z=w_i)$

Dabei ist $E(Z)$ der Erwartungswert von $Z$. Dieser muss zuerst berechnet werden. Der Ausdruck $w_i-E(Z)$ misst also die Abweichung des Werts $w_i$ vom Mittelwert $E(Z)$. Davon wird dann das Quadrat genommen, um das Ergebnis unabhängig vom Vorzeichen der Abweichung zu erhalten. Diese quadratische Abweichung wird jeweils nach der zugehörigen Wahrscheinlichkeit gewichtet. Und die gewichtete Summe ist dann die Varianz von $Z$.

Anmerkung:
Die Quadratwurzel der Varianz ist dann die Standardabweichung. Man nimmt die Quadratwurzel, um die Standardabweichung linear zu machen, d. h. wenn alle Werte verdoppelt werden, verdoppelt sich auch die Standardabweichung. Varianzen verhalten sich quadratisch: $\mathrm{Var}(a\cdot X)=a^2\cdot\mathrm{Var}(X)$ für $a\in\mathbb{R}$.

In unserem Fall können wir $w_1=1$, $w_2=2$, $w_3=4$ und $w_4=10$ setzen. Damit berechnen wir zunächst den Erwartungswert:
$E(Y)=\sum_{i=1}^n w_i\cdot P(Y=w_i)\\
=1\cdot 0,25 +2 \cdot 0,125 + 4 \cdot 0,125 +10 \cdot 0,5\\
=0,25+ 0,25 + 0,5 +5\\
=6$

Eingesetzt in die obige Formel liefert das:

$\mathrm{Var}(Y)=\sum_{i=1}^n \left(w_i-E(Z)\right)^2\cdot P(Z=w_i)\\
=(1-6)^2\cdot 0,25 + (2-6)^2 \cdot 0,125 + (4-6)^2 \cdot 0,125 + (10-6)^2 \cdot 0,5\\
=(-5)^2\cdot 0,25 +(-4)^2 \cdot 0,125 + (-2)^2\cdot 0,125 +4^2 \cdot 0,5 \\
=25\cdot 0,25 + 16\cdot 0,125 + 4 \cdot 0,125 +16 \cdot 0,5\\
= 6,25 + 2 + 0,5 + 8\\[2pt]
=16,75$.

Lösung

Wir haben $\mathrm{Var}(X)=100$ und $\mathrm{Var}(Y)=16,75$ berechnet.
Somit ist $\mathrm{Var}(X)>\mathrm{Var}(Y)$.
Und damit hat die Zufallsgröße $X$ die größere Varianz.

 

 
 
 
 

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