Vektoraddition: Vektoren addieren und subtrahieren

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Vektoraddition: Vektoren addieren und subtrahieren

Im Video Vektoraddition werden die ersten beiden der grundlegenden Vektor-Rechenarten thematisiert. Du lernst, wie du Vektoren addieren und subtrahieren kannst, indem du die gewöhnliche Addition von Zahlen auf die einzelnen Vektorkomponenten anwendest.
Die Grundrechenarten für Vektoren sind in der Geometrie der Oberstufe genauso wichtig wie die Grundrechenarten für Zahlen in der Analysis. Wichtig sind Addition (+), Subtraktion (−)
und die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl, die auch Skalarmultiplikation genannt wird.
Eine typische Anwendung der Vektoraddition in der Physik ist die Berechnung der Netto-Wirkung zweier Kräfte mit unterschiedlicher räumlicher Ausrichtung. Die Subtraktion zweier Ortsvektoren liefert den Verbindungsvektor der zugehörigen Punkte. Verbindungsvektoren müssen sehr oft in einer Nebenrechnung bestimmt werden, um den Abstand zweier Punkte im Raum oder den Winkel zwischen Vektoren zu ermitteln. In der Geometrie der Oberstufe wird im dreidimensionalen Raum $\mathbb{R}^3$ gearbeitet, wo Punkte durch Vektoren mit jeweils drei Komponenten dargestellt werden. Um solche Vektoren zu addieren, wendest du die gewöhnliche Addition von Zahlen auf die einzelnen Komponenten an.

Hierzu ein Beispiel:
Berechne den folgenden Vektor:
$\left(\begin{array}{c}3\\ 1 \\0\end{array}\right) +\left(\begin{array}{c}-1\\ 0 \\1\end{array}\right)$

Die Vektoraddition funktioniert nur dann, wenn die beteiligten Vektoren gleicher Dimension sind, das heißt, wenn sie jeweils gleich viele Komponenten haben. Man kann also zwei oder mehr zweidimensionale Vektoren (also zwei Vektoren mit zwei Komponenten) addieren und zwei oder mehr dreidimensionale Vektoren (mit jeweils drei Komponenten) addieren.

Du kannst Vektoren addieren, indem du ihre einzelnen Komponenten addierst.

Für unser Beispiel funktioniert die Vektoraddition wie folgt:
$\begin{align}
\left(\begin{array}{c}3\\ 1 \\0\end{array}\right) +\left(\begin{array}{c}-1\\ 1 \\2\end{array}\right) &=
\left(\begin{array}{c}3+(-1)\\ 1+1 \\0+2\end{array}\right)\\
&= \left(\begin{array}{c}2\\ 2 \\2\end{array}\right)
\end{align}$

Gleiches gilt für die Vektorsubtraktion:

Du kannst Vektoren subtrahieren, indem du ihre einzelnen Komponenten subtrahierst.

$\begin{align}
\left(\begin{array}{c}0\\ 2 \\-2\end{array}\right) -\left(\begin{array}{c}-1\\ 0 \\1\end{array}\right) &=
\left(\begin{array}{c} 0-(-1)\\ 2-0 \\-2-1\end{array}\right)\\
&= \left(\begin{array}{c}1\\ 2 \\-2\end{array}\right)
\end{align}$

Das Ergebnis ist der Verbindungsvektor der Punkte $(-1|0|1)$ und $(0|2|-2)$.

 

 
 
 
 

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