Verschiebung – Funktionsterme verschobener Graphen bestimmen

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cem_0902 am 31.08.2018

in weniger als 2 min mehr gelernt als in 45 min unterricht!!!! danke :)))

Juli K. am 31.08.2018

Kurz und gut erklärt!

 

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Verschiebung – Funktionsterme verschobener Graphen bestimmen

Was bedeutet Verschiebung eines Funktionsgraphen?

Hier lernst du, wie sich die Verschiebung eines Graphen in $x$-Richtung oder $y$-Richtung am Funktionsterm äußert.
Jede Verschiebung in der Ebene setzt sich aus einer horizontalen und einer vertikalen Komponente zusammen. Dabei ist es egal, ob man zuerst vertikal oder zuerst horizontal verschiebt.

Die folgende Übersicht zeigt, wie sich eine Verschiebung um $n$ Einheiten auf den Funktionsterm auswirkt:

  • Verschiebung in positive $x$-Richtung $\Rightarrow$ $f(x)$ wird zu $f(x-n)$
  • Verschiebung in negative $x$-Richtung $\Rightarrow$ $f(x)$ wird zu $f(x+n)$
  • Verschiebung in positive $y$-Richtung $\Rightarrow$ $f(x)$ wird zu $f(x)+n$
  • Verschiebung in negative $y$-Richtung $\Rightarrow$ $f(x)$ wird zu $f(x)-n$

Beispiel-Aufgabe

Der Graph der Funktion $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},x\mapsto(x-1)^2$ werde um eine Einheit in negative $x$-Richtung und um zwei Einheiten in positive $y$-Richtung verschoben. Bestimme einen Funktionsterm $g(x)$ für den so entstandenen Graphen $G_g$.
Graphische Veranschaulichung

Für unseren Fall sieht die in der Beispiel-Aufgabe beschriebene Verschiebung so aus:


Schritt 1: Vertikale Verschiebung ausführen

Die horizontale Verschiebung verläuft parallel zur $x$-Achse. Laut Aufgabenstellung wird der rote Graph zunächst um eine Einheit in negative $x$-Richtung verschoben. Aus der obigen Übersicht geht hervor, dass wir die diese Verschiebung durch die Ersetzung $x\mapsto x+1$ im Funktionsterm erreichen. Der blaue Graph (s. Visualisierung) gehört also zum Funktionsterm
$f(x+1)=((x+1)-1)^2=x^2$.
Schritt 2: Horizontale Verschiebung ausführen

Die vertikale Verschiebung verläuft parallel zur $y$-Achse. Laut Aufgabenstellung muss der blaue Graph (dessen Funktionsterm in Schritt 1 bestimmt wurde) noch um zwei Einheiten in positive $x$-Richtung verschoben werden, um den gewünschten Graphen zu erhalten. Aus der Übersicht geht hervor, dass wir die diese Verschiebung durch Addition von $2$ zum Funktionsterm aus Schritt 1 erreichen. Das ergibt den Funktionsterm $g(x)=x^2+2$.
Der Graph dieser Funktion wird in der graphischen Veranschaulichung durch den lilafarbenen Graphen dargestellt.
Lösung

Verschiebt man den Graphen der Funktion $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},x\mapsto(x-1)^2$ um eine Einheit in negative x-Richtung und um zwei Einheiten in positive y-Richtung, so erhält man den Graphen der Funktion
$g(x)=x^2+2$.

 

 
 
 
 

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