Video zur Prüfung: Analysis, Symmetrie und Integrale

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Video zur Prüfung: Analysis, Symmetrie und Integrale

Dieses Video behandelt eine länderübergreifende Abituraufgabe aus dem Bereich Analysis. Es geht um Integrale bei symmetrischen Funktionen, in diesem Fall der Sinusfunktion. Wir erklären dir Schritt für Schritt und anschaulich visualisiert, wie du am schnellsten zu Lösung kommst.

In der vorliegenden Prüfungsaufgabe kommen Integrale über die Funktion $f$ vor, die $x$ auf $\sin{x}$ abbildet. Es wird aber keine Integralrechnung verlangt. Stattdessen lauten die Arbeitsaufträge angeben, begründen und beschreiben.

Aufgabe

Gegeben ist eine in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x \mapsto \sin{x}$. Es gilt $\int_{0}^{\frac {\pi}{2}} f(x) dx = 1$.
a) Geben Sie den Wert des Integrals $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac {\pi}{2}} f(x) dx$ an.
b) Begründen Sie ohne Verwendung einer Stammfunktion, dass $\int_{-0}^{5 \pi} f(x) dx = 2$ gilt.
c) Beschreiben Sie, wie der Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h: x \mapsto 1 + 2 \sin{x}$ aus dem Graphen der Funktion hervorgeht.

Teilaufgabe a) – Integralwert angeben

Bei Teilaufgabe a) soll der Wert des Integrals von $-\frac \pi 2$ bis $\frac \pi 2$ über $f(x)$ angegeben werden. Das heißt, es ist keine Rechnung nötig, sondern eine eine anschauliche Vorstellung von der Bedeutung des Integrals. Vorgegeben ist die Sinusfunktion, die vom Ursprung aus ihren ersten Hochpunkt bei $\frac \pi 2$ erreicht und bei $\pi$ die nächste Nullstelle hat. Der Graph setzt sich in beiden Richtungen wellenförmig fort.

Die Integralgrenzen sind $x=-\frac \pi 2$ und $x=+ \frac \pi 2$. Das Integral beschreibt die Flächenbilanz zwischen der $x$-Achse und Graphen der Sinusfunktion im Bereich zwischen $-\frac \pi 2$ und $\frac \pi 2$. Dabei wird die Teilfläche unterhalb der $x$-Achse negativ gezählt, die Teilfläche oberhalb der $x$-Achse positiv.

Wegen der Punktsymmetrie des Graphen sind die beiden Teilflächen gleich groß. Das Integral ist die Fläche oberhalb der $x$-Achse minus die Fläche unterhalb der $x$-Achse. Also ist $\int_{-\pi 2}^{\frac \pi 2} f(x)\, dx= 0$.

Teilaufgabe b) – Integralwert begründen

Bei Teilaufgabe b) wird dieselbe Funktion von $0$ bis $5$ integriert. Das Integral beschreibt also die Flächenbilanz in diesem Bereich. Die Flächenbilanz lässt sich in drei Teile zerlegen: der erste Abschnitt geht von $0$ bis $\pi$, der zweite von $\pi$ bis $3 \pi$ und der dritte von $3\pi$ bis $5 \pi$. Entsprechend teilt sich das Integral in eine Summe auf.
$\int_{0}^{5} f(x)\, dx= \int_{0}^{\pi} f(x)\, dx + \int_{\pi}^{3\pi}f(x)\, dx + \int_{3\pi}^{5\pi}f(x)\, dx$

Aus Gründen der Achsensymmetrie heben sich die Fläche unterhalb der $x$-Achse und oberhalb der $x$-Achse gegenseitig auf. Das letzte Teilintegral ist also $0$. Ebenso verhält es sich im mittleren Abschnitt. Auch dieses Teilintegral ist also $0$. Übrig bleibt nur die erste Teilfläche oberhalb der $x$-Achse im Bereich zwischen $0$ und $\pi$. Um ihren Inhalt ohne Rechnung zu bestimmen, gehen wir vom angegebenen Integral von $0$ bis $ \frac \pi 2$ aus, das den Wert $1$ hat. Das bedeutet, dass die 1. Hälfte Teilfläche den Flächeninhalt $1$ hat. Aus Symmetriegründen gilt dasselbe für die 2. Hälfte. Somit hat das 1. Teilintegral den Wert 2. Und damit auch das Gesamtintegral von $0$ bis $5 \pi$.

Teilaufgabe c) – Transformation begründen

Hier ist der Term $h(x)= 1 + \sin{x}$ gegeben. Wir sollen beschreiben, wie dessen Graph aus dem Graphen der gewöhnlichen Sinusfunktion hervorgeht. Diese wird zuerst mit $2$ multipliziert, das heißt, um den Faktor 2 in $y$-Richtung gestreckt. Dann wird $1$ dazu addiert, das bedeutet, der Graph wird um eine Einheit nach oben verschoben.

 

 
 
 
 

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