Video zur Prüfung: Geometrie, 3D-Koordinaten und Abstände

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Video zur Prüfung: Geometrie, 3D-Koordinaten und Abstände

In diesem Video wird eine länderübergreifende Abituraufgabe aus der analytischen Geometrie behandelt, die 2016 in Bayern und Niedersachsen drankam. Es geht um einen abgebildeten Würfel, von dessen Eckpunkten einige Koordinaten vorgegeben sind. Bei Teilaufgabe a) sollen die Koordinatenachsen in die Abbildung eingezeichnet und die Koordinaten des Punkts A angegeben werden. Bei Teilaufgabe b) sind die Koordinaten eines Punkts $P$ zwischen $F$ und $B$ gesucht, der 3 Einheiten von $H$ entfernt ist.

Aufgabe

Betrachtet wird der abgebildete Würfel $ABCDEFGH$. Die Eckpunkte $D$, $E$, $F$ und $H$ dieses Würfels besitzen in einem kartesischen Koordinatensystem die folgenden Koordinaten: $D(0|0|−2)$, $E(2|0|0)$, $F(2|2|0)$ und $H(0|0|0)$.
a) Zeichnen Sie in die Abbildung die Koordinatenachsen ein und bezeichnen Sie diese. Geben Sie die Koordinaten des Punkts $A$ an.
b) Der Punkt $P$ liegt auf der Kante $[FB]$ des Würfels und hat vom Punkt $H$ den Abstand $3$. Berechnen Sie die Koordinaten des Punkts $P$.

Teilaufgabe a)

Zuerst müssen wir herausfinden, wo die Koordinatenachsen verlaufen. Die $x$-Achse geht durch den Punkt $(0|0|0)$, also $H$, und erstreckt sich in Richtung des Punktes $(2|0|0)$, also $E$.
Die $y$-Richtung ergibt sich aus den Punkten $E$ und $F$, die sich nur in der $y$-Koordinate unterscheiden. Die Verbindungsstrecke von $E$ mit $y=0$ nach $F$ mit $y=2$ verläuft also parallel zur $y$-Achse. Die $y$-Achse geht aber durch den Ursprung bei $(0|0|0)$ und das ist der Eckpunkt $H$.

Der Punkt $D$ mit Koordinaten $(0|0|-2)$ liegt auf der $z$-Achse, ebenso wie der Ursprung bei $H$. Die Richtung der $z$-Achse ist gegeben durch die Verbindungsstrecke von $D$ mit negativer $z$-Koordinate nach $H$ mit $z$-Koordinate $0$. Wir zeichnen nur den positiven Teil der $z$-Achse.

Jetzt müssen noch die Koordinaten des Eckpunkts $A$ links unten angegeben werden. Um vom Ursprung nach $A$ zu gelangen müssen wir zuerst 2 Einheiten in $x$-Richtung (bis zum Punkt $E$) gehen, dann in negative $z$-Richtung, und zwar genauso weit wie von $H$ nach $D$. Der Punkt $A$ hat somit wie $D$ die $z$-Koordinate $-2$. Es handelt sich also um den Punkt $(2|0|-2)$.

Teilaufgabe b)

Bei Teilaufgabe b) sind die Koordinaten eines Punkts $P$ gesucht, der zum einen auf der Kante $[FB]$ des Würfels liegt und zum anderen den Abstand $3$ zum Punkt $H$ hat. Die Kante $[FB]$ verläuft parallel zur $z$-Achse, so dass alle Punkte darauf dieselben $x$-Koordinaten und $y$-Koordinaten haben, nämlich jeweils $2$.

Also hat auch $P$ die $x$-Koordinate $2$ und die $y$-Koordinate $2$. Desweiteren soll die Entfernung von $P$ zu $H$ gleich $3$ sein. Da der Punkt $H$ nichts anderes ist als der Ursprung des Koordinatensystems, ist die Entfernung von $H$ zu $P$ gleich dem Betrag des Ortsvektors von $P$ und der hat wiederum die Koordinaten $\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\p_3\end{array}\right)$.
$d(H,P)= \left|\overrightarrow{OP} \right|=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\p_3\end{array}\right)$.

Der Betrag eines Vektors ist die Wurzel aus der Summe der Quadrate der drei Koordinaten, in diesem Fall also $\sqrt{2^2 + 2^2 + p_3^2}$. Dieser Ausdruck ist der Abstand von $H$ zu $P$. Die Bedingung, dass der Abstand von $H$ zu $P$ gleich $3$ sein soll liefert uns die Gleichung $3=\sqrt{8 + p_3^2}$, die wir nach der unbekannten $z$-Koordinate $p_3$ auflösen.

Dazu quadrieren wir beide Seiten der Gleichung, womit die Wurzel verschwindet. Dann ziehen wir von beiden Seiten $8$ ab und erhalten $1=p_3^2$. Die beiden Lösungen dieser Gleichung lauten $p_3=-1$ und $p_3=1$.

Jetzt müssen wir prüfen, welche Lösung als $z$-Koordinate von $P$ in Frage kommt. Eine positive $z$-Koordinate würde bedeuten, dass der Punkt oberhalb der $xy$-Ebene liegt, aber die Kante von $F$ nach $B$ liegt unterhalb dieser Ebene, also kommt die positive Lösung nicht in Frage. Daher hat $P$ die Koordinaten $(2|2|-1)$.

 

 
 
 
 

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