Video zur Prüfung: Lineare Algebra, Matrix-Vektor-Multiplikation

In diesem Video geht es um eine länderübergreifende Abituraufgabe aus dem Bereich Lineare Algebra, bei der als Hauptkompetenz die Matrix-Vektor-Multiplikation gebraucht wird.

Gegeben sind eine Matrix $A$, ein Vektor $v_0$ und die Rekursionsgleichung $v_i+1=A \cdot v_i$. Bei Teilaufgabe a) soll der Vektor $v_2$ mit Hilfe der Rekursionsgleichung bestimmt werden. Bei Teilaufgabe b) wird ein Vektor gesucht, der bei Multiplikation mit der Matrix $A$ unverändert bleibt.

Aufgabe

Gegeben sind die Übergangsmatrix $A= \begin{pmatrix}0 & 20 & 0 \\0 & 0 & \frac12\\\frac{1}{10} & 0 & 0 \end{pmatrix}$ und der Zustandsvektor $\overrightarrow{v_0}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2 \\3\end{array}\right)$.
Die Vektoren der folgenden Zustände ergeben sich aus $\overrightarrow{v_{i+1}}=A \cdot \overrightarrow{v_i}$ mit $i \in \mathbb {R}$.

a) Berechnen Sie $\overrightarrow{v_2}$.
b) Untersuchen Sie, ob es einen Zustandsvektor $\overrightarrow{w}=\left(\begin{array}{c}x\\ 1 \\z\end{array}\right)$ mit $x, z \in \mathbb{R}$ gibt, so dass $\overrightarrow{w}=A\cdot \overrightarrow{w}$ gilt.

Teilaufgabe a)

Zunächst berechnen wir den Vektor $v_2$. Dazu brauchen wir die Rekursionsgleichung $v_i+1=A \cdot v_i$. Sie fasst eine unendliche Folge von Gleichungen zusammen: eine für jede natürliche Zahl $i$. Wenn man einen dieser Vektoren berechnet hat, erhält man den nächsten durch Multiplikation von links mit der Matrix $A$.

Um also den Vektor $v_2$ zu berechnen, muss auf der linken Seite $v_2$ stehen, das heißt wir müssen $i$ so wählen, dass $i+1=2$ ist. Das ist für $i=1$ der Fall. Diese Gleichung können wir aber erst anwenden, wenn wir $v_1$ berechnet haben. Hierfür muss die Rekursionsgleichung für $i=0$ angewandt werden. Damit können wir $v_1$ berechnen, denn die Matrix $A$ und der Vektor $v_0$ sind vorgegeben. Das Produkt einer Matrix mit einem Vektor berechnet sich Zeile für Zeile: Für die erste Komponente nehmen wir das Skalarprodukt der 1. Zeile der Matrix mit dem Vektor. Die 2. Komponente ist das Skalarprodukt der 2. Zeile der Matrix mit dem Vektor. Den rechenweg sparen wir uns an dieser stelle; du kannst ihn dem Lösungscoach entnehmen. Wir erhalten jedenfalls den Vektor $\left(\begin{array}{c}40\\ \frac32 \\ \frac{1}{10} \end{array}\right)$.

Somit haben wir $v_1$ berechnet, aber gesucht ist $v_2$. Wir erhalten $v_2$, indem wir den eben berechneten Vektor $v_1$ wieder mit der Matrix $A$ multiplizieren. Die Rechnung ist also ganz analog wie vorher. Die 1. Komponente ist das Skalarprodukt aus der 1. Zeile der Matrix und dem Vektor. Die 2. Komponente geht aus der 2. Zeile der Matrix hervor, die 3. Komponente entsprechend aus der 3. Zeile der Matrix.

Es ergibt sich $\left(\begin{array}{c}30\\\frac {1}{20} \\ 4\end{array}\right)$ als Lösung für Teilaufgabe a).

Teilaufgabe b)

Bei Teilaufgabe b) ist ein Zustandsvektor mit y-Koordinate 1 gesucht, der nach Multiplikation mit der Matrix $A$ unverändert bleibt, also eine stationäre Verteilung von $A$.

Um nach einer Lösung der Gleichung $w=A \cdot w$ zu suchen, berechnen wir erst mal das Produkt $A \cdot w$. Ganz analog wie vorhin gehen wir Zeile für Zeile vor. Wir erhalten somit als Ergebnis die $x$-Koordinate $20$, die $y$-Koordinate $\frac12 z$ und die $z$-Koordinate $\frac{1}{10}x$.
$\left(\begin{array}{c}20\\ \frac12z \\ \frac{1}{10}x\end{array}\right)$

Die Gleichung $w=A \cdot w$ bedeutet also, dass der Vektor $\left(\begin{array}{c}x\\ 1 \\z\end{array}\right)$ gleich dem Vektor $\left(\begin{array}{c}20\\ \frac12z \\ \frac{1}{10}x\end{array}\right)$ sein muss. Das wiederum bedeutet zunächst, dass $x=20$ und $1=\frac12z$, also $z=2$ sein muss. Die $z$-Koordinaten links und rechts liefern die Gleichung $z= \frac{1}{10}x$.

Um zu prüfen, ob wir mit $x=20$ und $z=2$ eine Lösung erhalten, setzen wir diese Werte in die 3. Gleichung ein und es ergibt sich $2= \frac {1}{10} \cdot 20$, also eine wahre Aussage.

Damit haben wir eine Lösung der Gleichung $w=A \cdot w$ gefunden.