Video zur Prüfung: Lineare Algebra, Übergangsmatrizen und Matrixkalkül

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Video zur Prüfung: Lineare Algebra, Übergangsmatrizen und Matrixkalkül

In diesem Video wird eine Anwendungsaufgabe zum Thema Matrixkalkül aus dem länderübergreifenden Aufgabenpool behandelt.

Vorgegeben ist ein Verflechtungsgraph, der die Produktion in einem Industriebetrieb beschreibt. Es gibt drei Ausgangsprodukte, aus denen drei Zwischenprodukte und schließlich zwei Endprodukte hergestellt werden. Der Graph zeigt für jedes Zwischenprodukt und jedes Endprodukt an, wie viele der einzelnen Ausgangsprodukte bzw. Zwischenprodukte für dessen Fertigung gebraucht werden.
In diesem Sachzusammenhang sind fünf Teilaufgaben zu lösen.

Prüfungsaufgabe

Ein Industriebetrieb fertigt gemäß dem abgebildeten Verflechtungsgraphen aus den Ausgangsprodukten $A_1$, $A_2$ und $A_3$ zunächst die Zwischenprodukte $Z_1$, $Z_2$ sowie $Z_3$ und daraus anschließend die beiden Endprodukte $E_1$ sowie $E_2$.

a) Geben Sie $AZ$ und $ZE$ an.
b) Dem Industriebetrieb liegt eine Bestellung von $500 E_1$ und $400 E_2$ vor. Berechnen Sie die Stückzahlen der dafür erforderlichen Ausgangsprodukte.

Teilaufgabe a)

Beginnen wir mit der Matrix $AZ$ Sie gibt zu jedem der drei Zwischenprodukte an, wie viele von den drei Ausgangsprodukten dazu jeweils gebraucht werden. Es handelt sich also um ein Zahlenschema mit 3 Zeilen und 3 Spalten.

$AZ = \begin{pmatrix}az_{11} & az_{12} & az_{13} \\az_{21} & az_{22} &az_{23} \\ az_{31} & az_{32} & az_{33} \end{pmatrix}$

Die einzelnen Einträge ergeben sich aus folgender Überlegung: Das Zwischenprodukt $Z_1$ lässt sich darstellen als $1 \cdot Z_1 + 0 \cdot Z_2 + 0 \cdot Z_3$, entspricht also dem Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\0 \\ 0\end{array}\right)$.

Für die Herstellung dieses Zwischenprodukts werden 1 $A_1$ und 2 $A_2$ benötigt. Diese Kombination lässt sich darstellen als $1 \cdot A_1 + 2 \cdot A_2 + 0 \cdot A_3$, entspricht also dem Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\2 \\ 0\end{array}\right)$.

Die Matrix soll den Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\0 \\ 0\end{array}\right)$, der dem Zwischenprodukt $Z_1$ entspricht, durch Multiplikation in den Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\2 \\ 0\end{array}\right)$ überführen, der die dafür nötige Kombination von Ausgangsprodukten darstellt.

Die Multiplikation einer Matrix mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\0 \\ 0\end{array}\right)$ liefert immer die 1. Spalte der Matrix. Diese muss also die Einträge 1, 2 und 0 haben.
$AZ = \begin{pmatrix}1 & az_{12} & az_{13} \\2 & az_{22} &az_{23} \\ 0 & az_{32} & az_{33} \end{pmatrix}$

Die 2. Spalte beschreibt das Zwischenprodukt $Z_2$, das dem Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\1 \\ 0\end{array}\right)$ entspricht. Zur Herstellung werden 4 $A_1$, 1 $A_2$ und 2 $A_3$ benötigt und das entspricht dem Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\1 \\ 2\end{array}\right)$.

Das Produkt der Matrix mit dem Vektor soll also $\left(\begin{array}{c}4\\1 \\ 2\end{array}\right)$ sein. Andererseits liefert Multiplikation mit $\left(\begin{array}{c}0\\1 \\ 0\end{array}\right)$ immer die 2. Spalte der Matrix, d.h. diese muss die Einträge 4, 1 und 2 haben.

$AZ = \begin{pmatrix}1 & 4 & az_{13} \\2 & 1 &az_{23} \\ 0 & 2 & az_{33} \end{pmatrix}$

Schließlich entspricht $Z_3$ dem Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\0 \\ 1\end{array}\right)$. Die Fertigung erfordert 1 $A_2$ und 1 $A_3$ und das entspricht dem Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\1 \\ 1\end{array}\right)$, der die 3. Spalte der Matrix darstellt.

$AZ = \begin{pmatrix}1 & 4 & 0 \\2 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

Wir haben somit die Verflechtungsmatrix $AZ$ bestimmt und brauchen noch $ZE$. Das funktioniert analog; du kannst die genauen Schritte im Lösungscoach nachlesen.

Ergbnis:

$ZE = \begin{pmatrix}2 & 0 \\0 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$

Teilaufgabe b)

Bei Teilaufgabe b) müssen wir berechnen, wie viele der einzelnen Ausgangsprodukte gebraucht werden, um $500 E_1$ und $400 E_2$ zu produzieren. Zuerst benutzen wir die Matrix $ZE$, um festzustellen, wie viele der einzelnen Zwischenprodukte gebraucht werden. Dann wenden wir die Matrix $AZ$ an, um aus den Zwischenprodukten die erforderlichen Ausgangsprodukte zu bestimmen.

Die Kombination von $500 E_1$ und $400 E_2$ entspricht dem Vektor $\left(\begin{array}{c}400\\ 500\end{array}\right)$. Um daraus den Vektor der erforderlichen Zwischenprodukte zu erhalten, müssen wir von links mit der Matrix $ZE$ multiplizieren.

$\begin{pmatrix}2 & 0 \\0 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \cdot \left(\begin{array}{c}400\\ 500\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}1000\\ 400\\2300\end{array}\right)$.
Um also $500 E_1$ und $400E_2$ zu produzieren, werden als Zwischenprodukte $1000 Z_1$, $400 Z_2$ und $2300 Z_3$ gebraucht. Um daraus die erforderlichen Ausgangsprodukte zu bestimmen, multiplizieren wir diesen Vektor von links mit der Matrix $AZ$ und erhalten den Vektor $\left(\begin{array}{c}2600\\ 4700\\3100\end{array}\right)$. Für die Produktion werden also 2600 $A_1$, $4700 A_2$ und $3100 A_3$ benötigt.

Weitere Teilaufgaben

Hier nur noch eine kurze Umschreibung der drei nächsten Teilaufgaben, die anschaulich in Video und Lösungscoach gelöst werden:

Für Teilaufgabe c) sind zwei Tabellen mit Anschaffungs- und Fertigungskosten der Ausgangs- und Zwischenprodukte gegeben, außerdem die Fertigungskosten für $E_1$ aus den Zwischenprodukten. Du sollst die Gesamtherstellungskosten von $E_1$ ermitteln.

Bei Teilaufgabe d) ist ein Lagerbestand von $46 Z_1$, $64 Z_2$ und $81 Z_3$ vorgegeben und wir müssen bestimmen, wie viele Endprodukte von Typ $E_1$ daraus höchstens hergestellt werden können.

Bei Teilaufgabe e) müssen wir beschreiben, wie sich die Anzahl der Zeilen und Spalten der Matrizen $AZ$ und $ZE$ verändert, wenn ein weiteres Zwischenprodukt $Z4$ hinzukommt.

 

 
 
 
 

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